Лекция 9. Линейные операции над векторами в координатах
Скалярное произведение векторов Пусть точки , . Тогда длина отрезка, соединяющего концы векторов , , находится по очевидной формуле: . Для расстояния от начала введем обозначения . Перейдем к углам между векторами. Если j - угол между отрезком, соединяющим О с и положительной осью a1, а - угол между отрезком, соединяющим О с и той же осью, то углом между векторами и будет . Тогда . Введем обозначение: . Определение.Скалярным произведением ненулевых векторов и называется число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними, то есть . Если хотя бы один из векторов и нулевой, то скалярное произведение равно нулю. Для обозначения скалярного произведения часто используется запись . Из определения следует, что скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда векторы ортогональны (угол между ними 90°, а ). Свойства скалярного произведения: 1) ; 2) ; 3) ; 4) при ; 5) скалярное произведение двух векторов, заданных декартовыми прямоугольными координатами, равно сумме произведений одноименных декартовых координат, то есть, если и , то . Скалярное произведение вектора на себя есть квадрат длины самого вектора, а длина вектора из ортонормированного базиса равна единице. С помощью скалярного произведения находят: 1. длину вектора : ; 2. расстояние d между точками А(х1,у1,z1) и В(х2,у2,z2): ; 3. проекцию одного вектора на направление другого вектора : ; 4. косинус угла между векторами: , где j - угол между векторами и ; 5. координаты орта вектора , то есть координаты вектора, направленного так же, как , но по длине равного единице. Координаты орта вектора совпадают с его направляющими косинусами: , , . Векторное и смешанное произведение векторов Определение.Векторным произведением двух непараллельных векторов и называется третий вектор , обозначаемый или и удовлетворяющий следующим условиям: 1. вектор ортогонален каждому из векторов и , то есть перпендикулярен плоскости, в которой лежат эти вектора; 2. если векторы , , отложены от одной точки О, то с конца вектора поворот от вектора к вектору на меньший угол осуществляется против часовой стрелки; в этом случае тройка , , называется правой; 3. , где - угол между векторами и ; если векторы и параллельны, то полагают . Свойства векторного произведения: 1. ; 2) ; 3) ; 2. величина модуля векторного произведения равна площади параллелограмма, построенного на векторах и ; 3. координаты векторного произведения векторов и можно найти через определители следующим образом: . Определение. Смешанным произведением трех векторов , , называется скалярное произведение векторного произведения первых двух векторов на третий. Обозначается смешанное произведение следующим образом: или просто . Свойства смешанного произведения: 1. - т.е. перестановка в произведении двух векторов местами ведет к смене знака всего произведения; 2. модуль смешанного произведения трех некомпланарных векторов равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах , , . При этом , если тройка , , - правая и , если тройка векторов левая; 3. если векторы , , заданы декартовыми координатами, то ; 4. три векторы , , лежат в одной плоскости (компланарны) тогда и только тогда, когда их смешанное произведение равно нулю.
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (410)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |