Лекция 13. Числовая последовательность
Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число хn, то говорят, что задана последовательностьx1, х2, …, хn = {xn} Общий элементпоследовательности является функцией от n.xn = f(n). Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция. Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности. Для последовательностей можно определить следующие операции: 1. Умножение последовательности на число m: m{xn} = {mxn}, т.е. mx1, mx2, … 2. Сложение (вычитание) последовательностей: {xn} ± {yn} = {xn ± yn}. 3. Произведение последовательностей: {xn}×{yn} = {xn×yn}. 4. Частное последовательностей: при {yn} ¹ 0. Ограниченные и неограниченные последовательности Определение. Последовательность {xn} называется ограниченной, если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство: т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M). Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной сверху, если для любого n существует такое число М, что xn £ M. Определение. Последовательность {xn}называется ограниченной снизу, если для любого n существует такое число М, что xn ³ M Определение. Число а называется пределом последовательности {xn}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие: Это записывается: lim xn = a. В этом случае говорят, что последовательность {xn}сходится к а при n®¥. Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая. Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела. Теорема. Если xn ® a, то . Теорема. Если xn ® a, то последовательность {xn} ограничена. Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость. Монотонные последовательности. Определение. 1) Если xn+1 > xn для всех n, то последовательность возрастающая. 2)Если xn+1 ³ xn для всех n, то последовательность неубывающая. 3)Если xn+1 < xn для всех n, то последовательность убывающая. 4)Если xn+1 £ xn для всех n, то последовательность невозрастающая Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными. Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны. Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел. Число е. Рассмотрим последовательность . Эта последовательность {xn} монотонная и ограниченная, значит она имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой е. . Число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа е. Можно показать, что число е иррациональное и его значение равно 2,71828… Аналогично можно показать, что . Найдем Число е является основанием натурального логарифма. Связь натурального и десятичного логарифмов. Пусть х = 10у, тогда lnx = ln10y , следовательно lnx = yln10 у = , где М = 1/ln10 » 0,43429…- модуль перехода.
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (554)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |