Основные положения расчета по методу перемещений

Тоннельная обделка, работающая совместно с окружающей упругой средой, представляет собой сложную многократно статически неопределимую конструкцию. Точный её расчет для обделки произвольного очертания и переменной жесткости практически невыполним. Поэтому для определения усилий в сечениях обделки обычно пользуются приближенными методами. Наибольшее распространение имеет способ, основанный на преобразовании заданной системы в расчетную введением следующих допущений:

· Плавное очертание обделки заменяют ломаным

· Непрерывное изменение жесткости обделки- ступенчатым

· Распределенные активные нагрузки, действующие на обделку, заменяют усилиями, приложенными в вершинах многоугольника

· Сплошную упругую среду заменяют отдельными упругими опорами, помещенными в вершинах вписанного многоугольника и расположенными перпендикулярно наружной поверхности обделки

При расчете по методу перемещений число неизвестных увеличивается в три раза, т.к в каждой вершине многоугольника необходимо определить три смещения по направлению вводимых закреплений: угловое, горизонтальное, вертикальное.

Применение метода перемещений для расчета конструкций в упругой среде предложено проф. Н. Н. Шапошниковым

Расчетная схема подковообразной обделки на упругих отпорах с жесткой заделкой в пятах представляет собой вписанный многоугольник, по концам сторон которого расположены упругие пружины, характеризующие взаимодействие конструкции с грунтом.

Основная система без упругих пружин получена из расчетной введением в каждом узле, кроме жесткой заделки, трех связей, препятствующих угловому , горизонтальному и вертикальному смещениям.

Неизвестными Z_i являются перемещения узловых точек, обращение в нуль усилия во введенных связях.

Для каждой вершины многоугольника можно составить три канонических уравнения, содержащих для точек 1 и 8 шесть неизвестных, а для промежуточных точек девять неизвестных.

Для точки 1

r₁₁z₁+r₁₂z₂+r₁₃z₃+r₁₄z₄+r₁₅z₅+r₁₆z₆=0

r₂₁z₁+r₂₂z₂+r₂₃z₃+r₂₄z₄+r₂₅z₅+r₂₆z₆=0

r₃₁z₁+r₃₂z₂+r₃₃z₃+r₃₄z₄+r₃₅z₅+r₃₆z₆ + P₁=0

где z₁= _1; z₂= ₁; z₃= ₁; z₄= ₂; z₅= ₂; z₆= ₂

r_ik- реакция в связи i прямого стержня постоянной жесткости от единичного смещения по направлению связи k

В матричной форме данные уравнения имеют вид:

где

;

Полная система канонических уравнений имеет вид:

Зная значения векторов перемещений концов стержней, входящих в расчётную систему, можно определить внутренние усилия в стержнях, загруженных лишь по концам, по формулам строительной механики.

Расчетная схема кольца (рис.15) является статически неопределимой; в качестве основной системы при расчете по методу сил для нее принимают ту же схему, но с удаленными связями, препятствующими взаимному угловому перемещению стержней, сходящихся в вершинах многоугольника в месте расположения упругих опор и в замке кольца (рис. 16). В местах удаления связей прикладывают парные изгибающие моменты, являющиеся лишними неизвестными.

Рис.15. Расчетная схема обделки на упругих опорах

Рис.16. Основная система обделки на упругих опорах