Системы линейных уравнений с двумя переменными

8.3. Основные понятия

 

Определение: Линейным уравнением с двумя переменными называется уравнение вида , где x, y – переменные, a, b, c – некоторые числа.

 

Определение: Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное числовое равенство.

Пример:2x – y = 5 – линейное уравнение с двумя переменными x и y.

(0; –5); (2; –1); (5; 5) – решения линейного уравнения 2x – y = 5.

 

Вывод:

1. Линейное уравнение с двумя переменными имеет бесконечное множество решений.

2.

-1

-5

х

у

Графиком линейного уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения (графиком уравнения является прямая).

 

Пример: или

 

x
y	– 5	– 1

Определение: Система линейных уравнений с двумя переменными имеет вид

a₁, а₂ - коэффициенты при x,

b₁, b₂ - коэффициенты при y,

c₁ , c₂ - свободные члены.

Определение: Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное числовое равенство.

Определение: Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что их нет.

8.4. Решение систем линейных уравнений с двумя переменными графически, подстановкой, сложением

х

-3

у

-2

l1

l2

М

1. Графический способ

 

Пример:Решить графически систему уравнений:

1)

l₁: l₂:

x		- 2		x		- 3
y				y

Координаты любой точки прямой l₁ являются решениями уравнения 2x + 3y = 5.

Координаты любой точки прямой l₂ являются решениями уравнения 3x – y = – 9.

Координаты x = – 2, y = 3 точки М пересечения прямых l₁ и l₂ удовлетворяют обоим уравнениям системы, то есть являются решением системы.

Ответ:(- 2; 3) – единственное решение системы.

y

1

-1

0

x

l1(l2)

2)

y = ; y = y = – l₁

y = ; y = ; y = – l₂

Прямые l₁ и l₂ совпадают. Координаты любой точки прямой являются решениями обоих уравнений системы.

х
у	- 1

х

y

l1

l2

Ответ: Система имеет бесконечное множество решений .

3) Û

l₁: l₂:

х				х
у			у

Прямые l₁ и l₂ параллельны и не имеют общих точек.

Ответ:Система не имеет решений.

2. Способ подстановки

1) Выразить из какого-нибудь уравнения системы одну переменную через другую.

2) Подставить в другое уравнение системы вместо этой переменной полученное выражение.

3) Решить получившееся уравнение с одной переменной.

4) Найти соответствующее значение другой переменной.

Пример:Решить систему уравнений способом подстановки:

1) Û Û

 

2x + 9x + 27 = 5; 11 x = – 22; x = – 2;

y = 3× ( – 2) + 9; y = 3.

Ответ:( –2; 3)

2) Û Û

; ; 15 = 15.

Ответ:Система имеет бесконечное множество решений

3) Û

 

6 4