Событие – это результат испытания

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА

Кафедра Математической статистики, эконометрики и

актуарных расчетов, ком. 504

Лектор

Ниворожкина Людмила Ивановна

Литература

1.Литература

1. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями:Учебное пособие. – М: Издательско-торговая корпорация «Дашков и К°», 2015.

2. Ниворожкина Л.И. Морозова З.А. Теория вероятностей и математическая статистика. - М.: Эксмо, 2008.

3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 1998.

4. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1997. – 325 с.

5. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями:Учебное пособие. – Москва: ИКЦ «МарТ», 2005.

6. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А., Герасимова И.А., Житников И.В., Федосова О.Н. Практикум по математической статистике с элементами теории вероятностей – Ростов-на-Дону: РГЭУ «РИНХ», 2007.

 

Тема 1. «Основные понятия и определения

Теории вероятностей»

План темы

1. Предмет теории вероятностей и ее значение для

экономической науки.

2. Испытания, события и их классификация.

3. Классическое и статистическое определения

вероятности.

4. Свойства вероятности.

5. Алгебра событий.

Теория вероятностей – наука, изучающая с количественной стороны закономерности случайных явлениймассового характера.

Вероятность - количественная мера неопределенности, число, которое выражает степень уверенности в наступлении того или иного события.

Теория вероятностей - обязательный инструмент анализа ситуаций, включающих неопределенность, случай.

Случайным называется такое явление (событие), осуществление которого заранее гарантировать нельзя.

Значительное число случайных явлений подчиняется определенным закономерностям, проявляющимся только при большом числе наблюдений.

ТВ - это наука, которая применяется к событиям, обладающим случайностью и массовостью.

Основной задачей теории вероятностей является установление математических законов для исследования случайных явлений массового характера и предвидения их на основании отдельных фактов.

Теория вероятностей формирует основу для статистического вывода, а также для других областей научного и практического знания, требующих количественной оценки наступления или не наступления некоторого события в таких областях практической деятельности, как контроль качества, принятие управленческих решений в фирме, биологии, физике, инженерных расчетах и, конечно, в экономике.

 

События, испытания и их классификация

Под событием в теории вероятностей понимается всякий факт, который может иметь (или не иметь) место при определенных условиях.

Например.

1. Рождение ребенка в семье

2. Купленный автомобиль не потребует ремонта в течение двух лет

3. Поступление на финансовый факультет РИНХа

 

 

Проведение измерения, наблюдения или опыта называется испытанием.

Испытанием (опытом, экспериментом), является процедура, включающая определенные условия и удовлетворяющая двум требованиям:

1) процедура может быть повторена достаточно большое число раз (не ограниченное) без изменения условий;

2) результаты этой процедуры при ее повторении могут меняться и их нельзя однозначно предсказать.

 

Испытание (опыт, эксперимент)	Исход испытания (событие)
Подбрасывание монеты Контроль качества деталей Продажа квартиры Результат футбольного матча	Цифра, герб Годная, бракованная Продана, не продана Победа, проигрыш, ничья

Событие – это результат испытания.

Событие, которое в результате испытания может произойти, а может и не произойти называется случайным событием. События обозначаются заглавными латинскими буквами:

А, В, С…. или сопровождаются подстрочными индексами А_1, А_2, А_{3, …}А_n

Достоверное событие - это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное; другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на Землю в силу действия закона притяжения, то есть результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом .

Невозможное событие - это событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания). Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное; выпадение выигрыша на все номера облигаций в каком-либо тираже выигрышного займа так же невозможное событие. Невозможное событие обозначим Æ.

Достоверные и невозможные события, вообще говоря, не являются случайными.

 

 

Совместные события. Несколько событий называются совместными, если в результате опыта наступление одного из них не исключает появления других. Например, при бросании трех монет выпадение цифры на одной не исключает появления цифр на других монетах.

В магазин вошел покупатель. События “в магазин вошел покупатель старше 60 лет” и “в магазин вошла женщина” - совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.

 

Несовместные события. Несколько событий называются несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появления других. Например, выигрыш, ничейный исход и проигрыш при игре в шахматы (одной партии) - три несовместных события.

Единственно возможные события. События называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или ... или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет).

Например, некоторая фирма рекламирует свой товар по радио и в газете. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: “потребитель услышал о товаре по радио”, “потребитель прочитал о товаре в газете”, “потребитель получил информацию о товаре по радио и из газеты”, “потребитель не слышал о товаре по радио и не читал газеты”. Эти четыре события единственно возможные.

 

Равновозможные события.Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из её граней - события равновозможные.

Противоположные события. Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.

Полная группа событий. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.

Появление одного и только одного из них является достоверным событием.

При покупке двух лотерейных билетов события:

- ни одного выигрышного;

- один билет выигрышный;

- два билета выигрышных

- образуют полную группу событий.

 

 

Однако события:

- два билета выигрышных;

- два билета проигрышных

- не являются полной группой событий.

Условимся различать сложные (разложимые) и элементарные (неразложимые) события.

Например, при подбрасывании игральной кости выпало число очков кратное 3. Это значит, что произошло одно из двух событий: либо выпала 3, либо 6, то есть событие – число очков кратное 3 – сложное событие, которое разлагается на два элементарных.

Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием. Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий.

Совокупность всех элементарных событий называется пространством элементарных событий, а сами элементарные события - элементами (точками) этого пространства и обозначаются a,b…

Испытание обрисовывает ситуацию, которая приводит к случайности, а пространство элементарных событий дает информацию о том, в какой форме эта случайность может проявиться.

 

Все события (поле событий) могут быть описаны при помощи элементарных событий (исходов).

Определение 1. Любое событие А есть некоторое множество А элементарных событий, то есть для всех a (элементарных событий) возможны только два случая: либо a А, либо a А

Определение 2. Если из того, что наступило событие А, обязательно следует наступление события B, то говорят что А влечет за собой В и обозначается А В (А вложено в В или в нем содержится)

Определение 3. Два события А и В называются равносильными, если при каждом испытании они либо оба наступают, либо оба не наступают, то есть если А В и В А , то А=В.

Пример. При бросании игральной кости «выпадение 5 или 6 очков» равносильно событию «выпадение числа очков более 4-х».Очевидно, равносильные события полностью заменяют друг друга.

Определение 4. События А, В называют эквивалентными, если наступление события А влечет за собой наступление события В, а наступление события В влечет за собой наступление события А.