Мегаобучалка Главная | О нас | Обратная связь


Тригонометрические уравнения



2016-09-17 419 Обсуждений (0)
Тригонометрические уравнения 0.00 из 5.00 0 оценок




Простейшие тригонометрические уравнения.

 

Определение: Уравнение называется тригонометрическим, если оно содержит переменную только под знаками тригонометрических функций.

Определение: Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все действительные числа, обращающие уравнение в тождество, или доказать что их нет.

Пример: Решить уравнение: cos х – sin х = 0.

Решение: Данное уравнение равносильно уравнению cos х = sin х .

Углы, радианные меры которых удовлетворяют этому уравнению, могут находиться в первой и третьей координатных четвертях, так как синус и косинус имеют в них одинаковые знаки. Синус и косинус имеют одинаковые значения при углах х = … или х = .

Ответ: х = .

Определение: Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида: sin х = а , cos х = а , tg х = а , ctg х = а , где

а – данное действительное число.

Замечание: Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейших тригонометрических уравнений .

Так как тригонометрические функции являются периодическими функциями, достаточно найти корни уравнений на отрезке длиной равной основному периоду тригонометрической функции.

sin х = а

1. а > 1 , а < – 1 , sin х = а корней нет.

2. а = 1 , sin х = 1 .

3. а = 0 , sin х = 0 .

4. а = – 1 , sin х = – 1 .

5. – 1 < а < 1 , sin х = а х 1 = arcsin а + 2pk , k Î Z

х 2 = p – arcsin а + 2pk , k Î Z .

Или

х 1,2 = ( – 1 ) к · arcsin а + pk , k Î Z .

Пример: Решить уравнения:

№1. sin 3х = – 1 .

№2. sin ( 2х – ) = 0 2х – = pk 2х = + pk

№3. sin =

Ответ: .

cos х = а

1. а > 1 , а < – 1 , cos х = а корней нет .

2. а = 1 , cos х = 1 х = .

3. а = 0 , cos х = 0 х = .

4. а = – 1 , cos х = – 1 х = .

5. – 1 < а < 1 , cos х = а х 1 = arccos а + 2pk , k Î Z

х 2 = – arccos а + 2pk , k Î Z .

Или

х 1,2 = ± arccos а + 2pk , k Î Z .

Пример: Решить уравнения:

№1. cos ( 3х – ) = 1 3х – = 2pk 3х = + 2pk х = .

№2. cos ( х – ) = х1 = arccos + 2pk х2 = – arccos + 2pk

х1 = + 2pk х2 = – + 2pk

х1 = + + 2pk х2 = – + + 2pk

х1 = + 2pk , k Î Z . х2 = 2pk , k Î Z .

Ответ: х1 = + 2pk , х2 = 2pk , k Î Z .

№3. cos =

, k Î Z , k Î Z .

Ответ: , , k Î Z .

 

tg х = а , а - любое число, х = arctg а + pk , k Î Z

ctg х = а , а - любое число, х = arcсtg а + pk , k Î Z

Пример:

№1. tg 2х = 2х = arctg + pk 2х = .

№2. сtg = 7 = arcсtg 7 + pk x = 3 arcсtg 7 + 3 pk , k Î Z .

№3. сtg tg x = - 1 x = arctg (- 1 ) + pk x = + pk , k Î Z .

20. 2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному.

Замечание: При решении тригонометрических уравнений целого вида, содержащих синусы и косинусы, область допустимых значений не устанавливается, так как эти функции определены для любого действительного значения.

Пример №1: Решить уравнение: 8 sin 2 x - 6 sin x - 5 = 0 .

Решение:

Введем новую переменную у = sin x , получим квадратное уравнение:

8 у 2 - 6 у - 5 = 0; D = b 2 - 4ac; D = (- 6 )2 - 4 · 8 · (- 5 ) = 196;

; ; y1 = ; y2 = ;

sin x = ; х 1,2 = ( – 1 ) к · arcsin +pk ; х 1,2 = ( – 1 ) к · +pk ;

х 1,2 = ( – 1 ) к+1 · + pk , k Î Z ;

sin x = корней нет , так как - 1 £ sin x £ 1 .

Ответ: х 1,2 = ( – 1 ) к+1 · + pk , k Î Z .

 

Пример №2: Решить уравнение: 8 sin 2 3x + 6 cos 3x - 3 = 0 .

Решение:

Используя формулу cos 2 3x + sin 2 3x = 1 , заменим sin 2 3x = 1 - cos 2 3x .

8 (1 - cos 2 3x ) + 6 cos 3x - 3 = 0; 8 - 8 cos 2 3x + 6 cos 3x - 3 = 0;

- 8 cos 2 3x + 6 cos 3x + 5 = 0; 8 cos 2 3x - 6 cos 3x - 5 = 0;

Введем новую переменную у = cos 3x , получим квадратное уравнение:

8 у 2 - 6 у - 5 = 0; D = b 2 - 4ac; D = (- 6 )2 - 4 · 8 · (- 5 ) = 196;

; ; y1 = ; y2 = ;

cos 3x = ; 3х = ± arccos + 2pk ; 3х = ± + 2pk ;

.

cos 3x = корней нет , так как- 1 £ cos 3x £ 1 .

Ответ: .

Пример №3: Решить уравнение:

Решение:

Воспользуемся формулами приведения:

; ;

; ;

Введем новую переменную у = cos , получим квадратное уравнение:

2 y 2 - 3 y - 2 = 0; D = b 2 - 4ac; D = (- 3 )2 - 4 · 2 · (- 2 ) = 25;

; ; y1 = ; y2 = 2;

= ± arccos + 2pk ; = ± + 2pk ;

x = ± + 4pk , k Î Z .

корней нет , так как - 1 £ cos £ 1 .

Ответ: x = ± + 4pk , k Î Z .

Пример №4: Решить уравнение: 3 cos 2 x = 7 sin x .

Решение:

Воспользуемся формулой cos 2x = 1 - 2 sin 2 x :

3 (1 - 2 sin 2 x ) - 7 sin x = 0; 3 - 6 sin 2 x - 7 sin x = 0;

Введем новую переменную у = sin x , получим квадратное уравнение:

- 6 y 2 - 7 y + 3 = 0; 6 y 2 + 7 y - 3 = 0; D = b 2 - 4ac; D = 7 2 - 4 · 6 · (- 3 ) = 121;

;;y1= ; y2 = ;

sin x = корней нет , так как - 1 £ sin x £ 1 .

sin x = х 1,2 = ( – 1 ) к · arcsin +pk , k Î Z .

Ответ: х 1,2 = ( – 1 ) к · arcsin +pk , k Î Z .

20. 3. Однородные тригонометрические уравнения .

Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin x + b cos x = 0

(a Î R , b Î R , a ¹ 0 , b ¹ 0 ) называется однородным первой степени относительно sin x иcos x .

Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin 2 x + b sin x cos x + с cos 2x = 0

(a Î R , b Î R , с Î R , a ¹ 0 , b ¹ 0 , с ¹ 0 ) называетсяоднородным второй степени относительно sin x иcos x .

Способ решения:Значения аргумента х, при которых sin x = 0 илиcos x = 0,не являются корнямитригонометрического уравнения однородного n-ой

степени относительно sin x иcos x, так как если sin x = 0

(cos x = 0),то из данного уравнения следует равенство cos x = 0

(sin x = 0), а из основного тригонометрического тождества следует, что косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому чтобы решить тригонометрическое уравнение однородное n-ой степени относительно sin x иcos x , можно обе части уравнения разделить на или .

 

Пример №1: Решить уравнение:sin x + cos x = 0 .

Решение:



2016-09-17 419 Обсуждений (0)
Тригонометрические уравнения 0.00 из 5.00 0 оценок









Обсуждение в статье: Тригонометрические уравнения

Обсуждений еще не было, будьте первым... ↓↓↓

Отправить сообщение

Популярное:
Как построить свою речь (словесное оформление): При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою...
Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ...
Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация...



©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (419)

Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку...

Система поиска информации

Мобильная версия сайта

Удобная навигация

Нет шокирующей рекламы



(0.009 сек.)