Тригонометрические уравнения
Простейшие тригонометрические уравнения.
Определение: Уравнение называется тригонометрическим, если оно содержит переменную только под знаками тригонометрических функций. Определение: Решить тригонометрическое уравнение – значит найти все действительные числа, обращающие уравнение в тождество, или доказать что их нет. Пример: Решить уравнение: cos х – sin х = 0. Решение: Данное уравнение равносильно уравнению cos х = sin х . Углы, радианные меры которых удовлетворяют этому уравнению, могут находиться в первой и третьей координатных четвертях, так как синус и косинус имеют в них одинаковые знаки. Синус и косинус имеют одинаковые значения при углах х = … или х = . Ответ: х = . Определение: Простейшие тригонометрические уравнения - это уравнения вида: sin х = а , cos х = а , tg х = а , ctg х = а , где а – данное действительное число. Замечание: Решение любого тригонометрического уравнения сводится к решению простейших тригонометрических уравнений . Так как тригонометрические функции являются периодическими функциями, достаточно найти корни уравнений на отрезке длиной равной основному периоду тригонометрической функции. sin х = а 1. а > 1 , а < – 1 , sin х = а корней нет. 2. а = 1 , sin х = 1 . 3. а = 0 , sin х = 0 . 4. а = – 1 , sin х = – 1 . 5. – 1 < а < 1 , sin х = а х 1 = arcsin а + 2pk , k Î Z х 2 = p – arcsin а + 2pk , k Î Z . Или х 1,2 = ( – 1 ) к · arcsin а + pk , k Î Z . Пример: Решить уравнения: №1. sin 3х = – 1 . №2. sin ( 2х – ) = 0 2х – = pk 2х = + pk №3. sin =
Ответ: . cos х = а 1. а > 1 , а < – 1 , cos х = а корней нет . 2. а = 1 , cos х = 1 х = . 3. а = 0 , cos х = 0 х = . 4. а = – 1 , cos х = – 1 х = . 5. – 1 < а < 1 , cos х = а х 1 = arccos а + 2pk , k Î Z х 2 = – arccos а + 2pk , k Î Z . Или х 1,2 = ± arccos а + 2pk , k Î Z . Пример: Решить уравнения: №1. cos ( 3х – ) = 1 3х – = 2pk 3х = + 2pk х = . №2. cos ( х – ) = х1 – = arccos + 2pk х2 – = – arccos + 2pk х1 – = + 2pk х2 – = – + 2pk х1 = + + 2pk х2 = – + + 2pk х1 = + 2pk , k Î Z . х2 = 2pk , k Î Z . Ответ: х1 = + 2pk , х2 = 2pk , k Î Z . №3. cos =
, k Î Z , k Î Z . Ответ: , , k Î Z .
tg х = а , а - любое число, х = arctg а + pk , k Î Z ctg х = а , а - любое число, х = arcсtg а + pk , k Î Z Пример: №1. tg 2х = 2х = arctg + pk 2х = . №2. сtg = 7 = arcсtg 7 + pk x = 3 arcсtg 7 + 3 pk , k Î Z . №3. сtg tg x = - 1 x = arctg (- 1 ) + pk x = + pk , k Î Z . 20. 2. Тригонометрические уравнения, приводимые к квадратному. Замечание: При решении тригонометрических уравнений целого вида, содержащих синусы и косинусы, область допустимых значений не устанавливается, так как эти функции определены для любого действительного значения. Пример №1: Решить уравнение: 8 sin 2 x - 6 sin x - 5 = 0 . Решение: Введем новую переменную у = sin x , получим квадратное уравнение: 8 у 2 - 6 у - 5 = 0; D = b 2 - 4ac; D = (- 6 )2 - 4 · 8 · (- 5 ) = 196; ; ; y1 = ; y2 = ; sin x = ; х 1,2 = ( – 1 ) к · arcsin +pk ; х 1,2 = ( – 1 ) к · +pk ; х 1,2 = ( – 1 ) к+1 · + pk , k Î Z ; sin x = корней нет , так как - 1 £ sin x £ 1 . Ответ: х 1,2 = ( – 1 ) к+1 · + pk , k Î Z .
Пример №2: Решить уравнение: 8 sin 2 3x + 6 cos 3x - 3 = 0 . Решение: Используя формулу cos 2 3x + sin 2 3x = 1 , заменим sin 2 3x = 1 - cos 2 3x . 8 (1 - cos 2 3x ) + 6 cos 3x - 3 = 0; 8 - 8 cos 2 3x + 6 cos 3x - 3 = 0; - 8 cos 2 3x + 6 cos 3x + 5 = 0; 8 cos 2 3x - 6 cos 3x - 5 = 0; Введем новую переменную у = cos 3x , получим квадратное уравнение: 8 у 2 - 6 у - 5 = 0; D = b 2 - 4ac; D = (- 6 )2 - 4 · 8 · (- 5 ) = 196; ; ; y1 = ; y2 = ; cos 3x = ; 3х = ± arccos + 2pk ; 3х = ± + 2pk ; . cos 3x = корней нет , так как- 1 £ cos 3x £ 1 . Ответ: . Пример №3: Решить уравнение: Решение: Воспользуемся формулами приведения: ; ; ; ; Введем новую переменную у = cos , получим квадратное уравнение: 2 y 2 - 3 y - 2 = 0; D = b 2 - 4ac; D = (- 3 )2 - 4 · 2 · (- 2 ) = 25; ; ; y1 = ; y2 = 2; = ± arccos + 2pk ; = ± + 2pk ; x = ± + 4pk , k Î Z . корней нет , так как - 1 £ cos £ 1 . Ответ: x = ± + 4pk , k Î Z . Пример №4: Решить уравнение: 3 cos 2 x = 7 sin x . Решение: Воспользуемся формулой cos 2x = 1 - 2 sin 2 x : 3 (1 - 2 sin 2 x ) - 7 sin x = 0; 3 - 6 sin 2 x - 7 sin x = 0; Введем новую переменную у = sin x , получим квадратное уравнение: - 6 y 2 - 7 y + 3 = 0; 6 y 2 + 7 y - 3 = 0; D = b 2 - 4ac; D = 7 2 - 4 · 6 · (- 3 ) = 121; ;;y1= ; y2 = ; sin x = корней нет , так как - 1 £ sin x £ 1 . sin x = х 1,2 = ( – 1 ) к · arcsin +pk , k Î Z . Ответ: х 1,2 = ( – 1 ) к · arcsin +pk , k Î Z . 20. 3. Однородные тригонометрические уравнения . Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin x + b cos x = 0 (a Î R , b Î R , a ¹ 0 , b ¹ 0 ) называется однородным первой степени относительно sin x иcos x . Определение: Тригонометрическое уравнение вида a sin 2 x + b sin x cos x + с cos 2x = 0 (a Î R , b Î R , с Î R , a ¹ 0 , b ¹ 0 , с ¹ 0 ) называетсяоднородным второй степени относительно sin x иcos x . Способ решения:Значения аргумента х, при которых sin x = 0 илиcos x = 0,не являются корнямитригонометрического уравнения однородного n-ой степени относительно sin x иcos x, так как если sin x = 0 (cos x = 0),то из данного уравнения следует равенство cos x = 0 (sin x = 0), а из основного тригонометрического тождества следует, что косинус и синус не могут быть одновременно равными нулю. Поэтому чтобы решить тригонометрическое уравнение однородное n-ой степени относительно sin x иcos x , можно обе части уравнения разделить на или .
Пример №1: Решить уравнение:sin x + cos x = 0 . Решение:
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... ©2015-2020 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (419)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |