ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ

Гармонические колебания. Гармоническими колебаниями называют колебания, описываемые уравнением

. (60.1)

Здесь - смещение тела от положения равновесия, - циклическая частота колебаний, - время.

Амплитуда и фаза колебаний. Модуль максимального смещения тела от положения равновесия называется амплитудой колебаний. Величина, стоящая под знаком косинуса, называется фазой гармонического колебания:

. (60.2)

Фаза колебаний в начальный момент времени называется начальной фазой.

Скорость и ускорение при гармонических колебаниях. Найдем, как зависят от времени скорость и ускорение тела, совершающего гармонические колебания по закону

(60.3)

вдоль координатной оси ОХ. Скорость движения тела определяется выражением

Более строго проекция скорости поступательного движения тела на ось ОХ определяется как производная координаты по времени:

(60.4)

Для определения проекции ускорения движения тела в любой момент времени необходимо найти производную от проекции скорости по времени :

(60.5)

Гармонические колебания под действием силы упругости. Из уравнений (60.3) и (60.5) следует, что

. (60.6)

При гармонических колебаниях тела вдоль оси ОХ ускорение прямо пропорционально смещению тела от положения равновесия.

Примером силы, пропорциональной смещению тела, является сила упругости. По закону Гука сила упругости прямо пропорциональна деформации тела:

.

Действие силы упругости может вызывать возникновение гармонических колебаний. Примером гармонических колебаний, возникающих под действием силы упругости, могут служить колебания груза, подвешенного на стальной пружине, колебания струны.

Если тело массой совершает под действием силы упругости гармонические колебания с циклической частотой , то, применив второй закон Ньютона для проекции ускорения , получим

(60.7)

С другой стороны, ускорение при гармонических колебаниях с циклической частотой определяется в любой момент времени выражением (60.6). Из выражений (60.6) и (60.7) устанавливается связь между циклической частотой , жесткостью деформируемого тела и массой тела:

(60.8)

(60.9)

Математический маятник. Тело небольших размеров, подвешенное на нерастяжимой нити, масса которой пренебрежимо мала по сравнению с массой тела, называют математическим маятником. При вертикальном положении нити действие силы тяжести уравновешивается действием силы упругости . Это положение является положением равновесия.

При малых отклонениях маятника от положения равновесия возникает равнодействующая сил тяжести и упругости, направленная к положению равновесия (рис. 216), и его колебания являются гармоническими. Период колебаний равен

(60.10)

Рис. 216

Зависимость периода колебаний маятника от ускорения свободного падения используется для точных измерений ускорения свободного падения на поверхности Земли. По результатам измерений можно обнаружить району залегания полезных ископаемых - железной руды, нефти, газа.