Математическое описание объектов управление на основе смесительного бака.

2018-07-06

442

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

12 Следующая ⇒

Рассмотрим смесительный бак, который наполняется с помощью двух потоков, имеющих переменные мгновенные расходы и (рис. 2.5). Оба входных потока содержат растворимое вещество неизм.конц. и . Выходной поток массовую скор истечения . Концентрация выходного потока равна концентрации .

Запишем уравнения баланса масс в баке. Для полной массы: (2.2.9).

Для массы растворённого вещества: (2.2.10).

Мгн расх вых пот зависит от уровня жидкости в баке : , (2.2.11). где - некоторая константа. Это следует из уравнения Бернулли, которое описывает энергетический баланс жидкости перед сливным отверстием и после него. При истечении из бака энергия жидкости превращается в кинет энергию потока, проп квадрату скорости . Приравн эти энерг, получаем . Расх пропорц произв скор истеч на площадь сливн отверстия, откуда и следует (2.2.11).

Для постоянной площади сечения . (2.2.12). Тогда из (2.2.9) и (2.2.10) получаем

Выберем в качестве базового режима установившееся состояние (статику), когда все велич явл пост - . При этом из предыдущих уравнений получаем

, . . При известных и эти уравнения могут быть разрешены относительно и : .Предположим теперь, что возникли отклонения от установившегося состояния: , , и, как следствие, Если эти отклонения невелики, то можно провести линеаризацию нелинейных дифференциальных уравнений объекта. Сначала лин Ур-е для полной массы

Используем разложение нелинейной функции в ряд Тейлора и учтём, что .

Тогда Учитывая уравнение статики и пренебрегая остаточным членом, получим (2.2.13) Введём параметр , наз врем заполн бака. Тогда, учитывая (2.2.12), получим . (2.2.14). Кроме того, отметим, что . (2.2.15)

Таким образом, вместо (2.2.13) запишем (2.2.16)

Проведем аналогичные действия для уравнения баланса масс растворённого вещества.

После разложения в ряд Тейлора получим

Учтём уравнения статики и отбросим остаточный член:

Подставим в это уравнение из (2.2.16). Получим Таким образом, в результате линеаризации мы получили систему следующих дифференциальных уравнений, которые описывают процессы в смесительном баке:

(2.2.17)

34. Передаточная функция разомкнутой системы, Оценить устойчивость этой системы. (б2)

; ; ;

k-20>0 à k>20.a₀=1, a₁=8, a₂=k-20, a₃=2k;

, из a₁a₂ – a₀a₃ > 0.

6k>160, k>26,67.

39. Для объекта найти управление, обеспечивающее λ_1,2 = -5 ± j5 и единичную статику по командному сигналу v.

(б6).

1. ; ; ; ; Для матрицы вычислим характеристический полином:

;Характеристический полином:

2. В соответствии с требованиями к замкнутой системе задать желаемые собственные числа λ₁₃λ₂₃λ₃₃ и найти соответствующий характеристический полином и получить коэффициенты характеристического полинома при желаемых собственных числах:

λ_1,2 = -5 ± j5, дано, (λ+5-5j)( λ_5_5j)= λ²+5 λ-5 λj+5 λ+25-25j+5j λ+25j+25= λ²+10 λ+50

3. расширим м-цу обр. св. в УКП: ,где l_uj=a_n_+1-_j-γ_n_+1-_j;

(γ=α_ж); l_u₁=α₂-γ₂=-48; l_u₂=α₁-γ₁=-7; lu3=α₀-γ₀=0; L_u=[ -48 -7 0 ]; С помощью эквивалентной функции

;

L₁= 2,5 ; L₂= 50/7,5 = 6,66666;

40. понятие статических и астатических систем регулирования. Приоллюстрировать на примере системы регулирования скорости паровой турбины (б10).

См. Турбину.

При изменении нагрузки на валу паровой машины после окончания переходных процессов сохраняется так называемая статическая ошибка. Если бы это было не так, то грузики центробежного регулятора, а вместе с ними и заслонка заняли бы своё первоначальное положение, и не изменившееся в результате количество подаваемого в турбину пара не смогло бы уравновесить изменившийся момент нагрузки. Такая система называется статической. Работа её осуществляется именно за счёт наличия статической ошибки. <…………………….>

Теоретически в этой системе статическая ошибка равна нулю, то есть данная система является астатической. В ней отсутствует статическая связь между скоростью и положением заслонки.

Рассмотрим упрощенные уравнения системы. Начнём с уравнения объекта. Очевидно, что изменение скорости турбины может происходить лишь в тех случаях, когда нарушается равновесие между движущим моментом турбины и моментом нагрузки :

41. Для системы

- записать векторно-матричное дифференциальное уравнение

- найти W_му(p)

- найти Ф(t)

- найти H_y(t)

(б10)

Векторно-матричные уравнения

; ; ; ;

Составим элементы переходной матрицы

, Подавая 2 на 2 мы имеем разомкнутую систему, тогда составим уравнение для замкнутой системы , по лаппласу , тогда , преобразуя по Лапласу получаем e^-2^t.

Тогда ;

Резольвента

Передаточ. Ф-я

Матрич. перех. ф-я:

42. Для системы

- записать векторно-матричное дифференциальное уравнение

- найти W_му(p)

- найти Ф(t)

- найти H_y(t)

(б11)

; ; ; ;

Составим элементы переходной матрицы

, Подавая 2 на 2 мы имеем разомкнутую систему, тогда составим уравнение для замкнутой системы , по Лапласу , тогда , преобразуя по Лапласу получаем e²^t.

Тогда ;

Резольвента

Передаточ. Ф-я

Матрич. перех. ф-я: