МЕТОД МОРА ПРИ ОПРЕДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ В СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМАХ

В общем виде формула Мора имеет вид:

где:

Δ_i(p)– перемещение в точке i от внешнего силового воздействия;

Δ_i(t) – перемещение в точке i от температурного воздействия;

Δ_i(c)– перемещение в точке i от действия смещения опоры.

– смещение от равномерного нагрева всех волокон;

– перемещение от неравномерного нагрева на Δt;

– перемещение от смещения опоры, где – это реакции в смещаемых связях от действия обобщённой единичной силы, приложенной в точке, перемещение которой определяется.

d– высота поперечного сечения;

α – коэффициент линейного расширения материала;

t – температура нейтрального волокна.

 

гдеt₁иt₂– температурыкрайних волокон стержня

Δt = t₂- t₁ – это разность температур или температурный перепад.

Замечания:

1. Подынтегральное произведение для элемента dx положительно, если эпюры однозначны.

2. Подынтегральные произведения , если усилия имеют один знак.

3. Произведение положительно, если иΔt искривляют элемент в одном направлении (эпюра расположена со стороны наиболее нагретых волокон)

4. Произведение положительно если и t одного знака, например, растяжение и нагрев

5. Произведение положительно, если направлена в сторону заданного смещения опоры

Пример №1.

Требуется определить:

1. Линейные перемещения в точке A (вертикальная и горизонтальная);

2. Угловое перемещение в точке C.

Пример №2.

Если за длину участка принять участок с одинаковым изменением температуры, то:

где – площади единичных эпюр продольных сил и изгибающих моментов, от действия обобщенной силы, приложенной в искомой точке по направлению искомого перемещения.

✓Лекция 21.03.18«Вычисление интеграла мора перемножением эпюр по правилу А.К. Верещагина. Часть 2»

Вычисления t, Δt, d в табличной форме

Пример 3.

 

 

 

СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

Простыми видами сопротивления являются растяжение сжатие изгиб кручение

К сложному относятся такие виды нагружении бруса, при которых в его поперечных сечениях одновременно возникает не менее двух внутренних силовых факторов. Случаи сложного сопротивления можно условно разделить на 2 группы:

1 группа. В опасных точках бруса напряженное состояние является одноосным. В эту группу относят косой изгиб, внецентренное растяжение или сжатие, изгиб с растяжением или сжатием.

2 группа. В опасных точках бруса напряженное состояние является плоским, в эту группу относят изгиб с кручением, растяжение или сжатие с кручением, растяжение или сжатие с изгибом и кручением.

Рассмотрим 2 случая сложного сопротивления: внецентренное растяжение или сжатие; косой изгиб.

 

Внецентренное растяжение или сжатие – это случай одновременного действия изгиба и продольной силы. Внецентренное растяжение или сжатие вызывается силой параллельной продольной оси бруса, не совпадающей с ней, т.е. приложенной с некоторым эксцентриситетом относительно центра тяжести поперечного сечения

 

Внутренние силовые факторы в произвольном поперечном сечении равны:

N = P;M_y = P · z_p; M_z = P · y_p, где y_p, z_p– координаты точки приложения силы.

На основании принципа независимости действия сил напряжения … при внецентренном растяжении сжатии определяются по формуле:

y и z – это координаты точки, в которой определяются напряжения.

Сила P берется со своим знаком: + при растяжении, - при сжатии.,

- радиусы инерции

Выражение в скобках показывает во сколько раз напряжения при внецентренном растяжении/сжатии больше напряжение центрального растяжения/сжатия.

Для определения максимальных значений напряжений вводится понятие нейтральной (нулевой) линии – это геометрическое место точек, в которых нормальные напряжения равны нулю.

Уравнение нейтральной линии определяют, приравнивая выражение для напряжений к нулю:

Приведём уравнение нейтральной линии к виду уравнения прямой в отрезках

a_yи b_z– отрезки, отсекаемые нейтральной линией на осях координат.

Таким образом, нейтральная или нулевая линия при внецентренном растяжении/сжатии не проходит через центр тяжести сечения (НИКОГДА!!!).

Свойства нулевой линии:

1. Положение нулевой линии зависит от размера и формы сечения, от координат точки приложения силы и не зависит от величины силы

2. Точка приложения силы и нулевая линия всегда расположены по разные стороны от центра тяжести сечения

3. Нулевая линия проходит в диаметрально противоположной четверти от точки приложения силы

 

 

✓Лекция 28.03.18 «Алгоритм определения максимальных значений напряжений»

АЛГОРИТМ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МАКСИМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИЙ НАПРЯЖЕНИЙ

1. Определить отрезки, отсекаемые нулевой линией на осях координат;

2. Построить нулевую линию;

3. Провести касательные к контуру сечения параллельно нулевой линии;

4. Определить координаты точек касания касательных к контуру сечения;

5. В точках касания вычислить максимальные значения напряжений.

Замечания:

1. При приближении точки приложения силы к центру тяжести сечения нулевая линия будет удаляться от центра, при этом в сечении увеличивается доля напряжений одного знака, т.к. уменьшаются напряжения от изгиба;

2. При удалении точки приложения силы от центра тяжести сечения нейтральная линия будет приближаться к центру;

3. При приложении силы в центр тяжести сечения нейтральная линия удаляется в ∞, при этом имеет место центральное растяжение/сжатие.

Ядро сечения

Всегда можно найти такое положение точки приложения силы, при котором нейтральная или нулевая линия будет касаться контура сечения нигде не пересекая его. В этом случае в сечении будут напряжения только одного знака.

Ядро сечения – это замкнутая область вокруг центра тяжести сечения, в пределах которой приложенная сила вызывает напряжения одного знака.

· Если точка приложения силы находится внутри ядра сечения, то нулевая линия не пересекает контур сечения и напряжения во всём сечении имеют один знак.

· Если точка приложения силы находится на контуре ядра сечения, то нулевая линия касается контура сечения, не пересекая его, и напряжения во всём сечении одного знака.

· Если точка приложения силы находится вне ядра сечения, то нейтральная линия пересекает контур сечения, и в сечении действуют напряжения разного знака.

– ядро сечения прямоугольника

– ядро сечения круга.

 

КОСОЙ ИЗГИБ

Косой изгиб – это случай сложного сопротивления, когда силовая плоскость, проходя через центр тяжести сечения, не совпадает ни с одной главной осью сечения. Такой случай имеет место, например, при изгибе консольного бруса силой, приложенной к плоскости торцевого сечения под некоторым углом альфа к его оси симметрии.

Косой изгиб является плоским, т.е. изогнутая ось балки остаётся после деформации плоской кривой, но характеризуется тем, что в отличие от прямого изгиба силовая плоскость и плоскость, в которой расположена изогнутая ось не совпадают.

Косой изгиб можно представить, как сочетание двух прямых изгибов, если изгибающий момент разложить на две составляющие.

Изгибающий момент в сечении на расстоянии xот свободного конца при взгляде на это сечение со стороны внешней нормали имеет составляющие.

На основании принципа независимости действия сил косой изгиб рассматривается, как результат действия на брус двух прямых изгибов, действующих в главных плоскостях.

Это принцип применим, если напряжения от отдельного действия изгибающих моментов, а также суммарное напряжение не превышают предела пропорциональности.

Нормальное напряжение в какой-либо точке поперечного сечения, при косом изгибе, определяют, как алгебраическую сумму нормальных напряжений, вызванных моментами M_yи M_z.

yи z- это координаты исследуемой точки сечения.

Замечания:

1. Пользоваться суперпозицией можно только при работе элемента в пределах упругости и при малых перемещениях;

2. Изгибающий момент положителен, если растянутые волокна имеют положительную координату;

3. Точки, наиболее удалённые от нейтральной линии, испытывают максимальные напряжения.

Нейтральная линия делит сечение на две части, в одной из которых действуют растягивающие, а в другой сжимающие напряжения.

Уравнение нейтральной линии получаем, приравнивая выражение для напряжений к нулю:

Если преобразовать уравнение нулевой линии к виду , то k будет угловым коэффициентом уравнения нейтральной линии и будет равно:

.

Таким образом нейтральная линия при косом изгибе всегда проходит через центр тяжести сечения.

Опасными точками сечения будут точки, наиболее удалённые от нейтральной линии.

Для сечений, имеющих оси симметрии и выступающие углы, опасными буду угловые точки, в которых напряжения от обоих изгибающих моментов имеют одинаковый знак.

Условие прочности при косом изгибе имеет вид:

, где y_A и z_A – это координаты опасной точки наиболее нагруженного сечения, σ – это допускаемое напряжение материала бруса при растяжении/сжатии.

Нейтральная линия наклонена к оси z под углом β:

Угол наклона вектора силы к оси z равен α:

.

Таким образом в общем случае между углами α и β соотношение:

.

Так как моменты инерции I_y и I_z не равны, то угол α не равен β, следовательно, при косом изгибе в отличие от прямого изгиба нейтральная линия не перпендикулярна плоскости действия изгибающего момента, а составляет с ней угол φ:

 

Перемещение при косом изгибе

Полное перемещение в центре сечения бруса согласно представлению косого изгиба, в виде комбинации двух плоских изгибов равно геометрической сумме перемещений, вызванных каждым из плоских изгибов в отдельности

δ_yи δ_z – в главных плоскостях определяются методом Мора.

Угол наклона вектора полного перемещения по отношению к оси y:

Таким образом, при косом изгибе смещение центра сечения происходит не в плоскости действия изгибающего момента, а в направлении нормали к нейтральной линии, т.е. косым изгиб называется потому, что направление действия силы не совпадает с направлением действия перемещения.

✓Лекция 04.04.18 «Устойчивость и продольно-поперечный изгиб сжатых стержней»