Оценка случайных погрешностей при прямых измерениях

В основе теории случайных погрешностей лежит теория вероятностей и методы математической статистики. Из этого следует, что точный расчет погрешностей невозможен. Их можно только оценить с некоторой определенной вероятностью. Оценку случайной погрешности и определение интервала, внутри которого с заданной вероятностью лежит истинное значение физической величины, проводят по результатам ее многократных измерений.

Предположим, что при измерениях возникают только случайные погрешности, а систематические погрешности настолько малы, что ими можно пренебречь.

Пусть, измеряя несколько раз величину Х, мы получаем серию значений
x₁, x₂,…,x_n. Каждое из измеренных значений содержит случайную погрешность

(2.1)

Поскольку истинное значение Х неизвестно, то остаются неизвестными по величине и знаку случайные погрешности, возникающие при каждом измерении.

Теория показывает, что наиболее близким к истинному значению измеряемой величины является среднее арифметическое ряда отдельных измерений

(2.2)

где n – число повторных измерений.

Среднее арифметическое значение будет содержать существенно меньшую погрешность. В теории погрешностей доказывается, что при увеличении числа n среднее арифметическое стремится к истинному значению измеряемой величины. Следовательно, случайная погрешность среднего арифметического стремится к нулю. В теории также доказывается, что абсолютная погрешность измерений с некоторой вероятностью не превышает . Поэтому случайная погрешность среднего арифметического может быть использована в качестве оценочного значения абсолютной погрешности. Окончательный результат измерений записывается как

(2.3)

с доверительной вероятностью α. Относительная погрешность результата равна

(2.4)

Величина определяет интервал, внутри которого с доверительной вероятностью α лежит истинное значение измеряемой величины. Этот интервал называют доверительным.

Доверительная вероятность α показывает, с какой вероятностью истинное значение измеряемой величины Х находится внутри доверительного интервала.

Результаты измерения величины Х, согласно (2.3), можно изобразить графически на числовой оси (рис. 2.1).

Рис. 2.1

Рассмотрим закономерности, которым подчиняются случайные погрешности . Прежде всего случайные погрешности возникают в результате одновременного воздействия большого числа независимых факторов.

Основные их свойства:

– при повторных измерениях одной и той же физической величины случайные погрешности представляют собой последовательность случайных чисел обоих знаков;

– одинаковые по значению, но разные по знаку погрешности встречаются одинаково часто;

– чаще встречаются меньшие по значению погрешности.

Эти свойства случайной погрешности следуют из закона нормального распределения Гаусса:

(2.5)

где p(Δx) – плотность вероятности появления случайной погрешности;

– дисперсия (разброс).

График нормального распределения показан на рис. 2.2 (σ = 0,25 – кривая 1; σ = 0,5 – кривая 2; σ = 1,0 – кривая 3). По оси абсцисс отложена случайная погрешность Δx, по оси ординат – плотность вероятности появления случайной погрешности p(Δx). Максимум кривой распределения приходится на значение Δx = 0 (нулевая случайная погрешность). График нормального закона распределения зависит от параметра σ. Чем больше σ, тем более пологий вид имеет кривая распределения.

Рис. 2.2

Вероятность получить то или иное значение случайной погрешности (которую удобно выражать в единицах σ равна площади, ограниченной кривой распределения и двумя перпендикулярами к оси абсцисс. Например, когда погрешность не превосходит значений ±σ площадь под кривой нормального распределения составляет 68% от общей площади (рис. 2.3). Это значит, что в среднем в 68 измерениях из 100 погрешность окажется меньше σ, а в 32 – больше σ. Это утверждение эквивалентно тому, что с доверительной вероятностью α = 0,68 значение погрешности лежит в интервале ±σ. Аналогично в интервале ±2σ находятся 95% всей площади под кривой (доверительная вероятность α = 0,95), случайная погрешность при этом не превышает ±2σ и т.д.

Рис. 2.3