Содержание
| Планируемые результаты обучения
|
Знания и представления
| Умения и навыки
|
Модуль 1. Элементы теории множеств и бинарных отношений. Функции алгебры логики.
|
|
|
Тема 1.1 Множества и бинарные отношения
|
|
|
Множества и операции над ними
| Знать понятия множества, подмножества, определение равных множеств, способы задания множеств; определения операций дополнения, объединения, пересечения, разности и декартова произведения множеств, определение разбиения множества.
| Уметь иллюстрировать на примерах основные понятия теории множеств и операции над множествами (в том числе с помощью диаграмм Эйлера-Вена), находить дополнение, объединение, пересечение, разность и декартово произведение конечных множеств.
|
Свойства операций над множествами
| Знать для операций объединения, пересечения и дополнения множеств коммутативные, ассоциативные, дистрибутивные законы, законы идемпотентности, де Моргана, нуля и единицы, поглощения, дополнения.
|
|
Правила подсчета элементов конечных множеств
| Знать правило суммы, правило включений и исключений для подсчета числа элементов конечных множеств, формулу для мощности декартового произведения конечных множеств.
| Уметь иллюстрировать на примерах правила подсчета числа элементов конечных множеств.
|
Бинарные отношения на множестве и их свойства
| Знать определение бинарного отношения на множестве; типы бинарных отношений (рефлексивные, симметричные, антисимметричные, транзитивные), определения отношений порядка и эквивалентности, классов эквивалентности, свойства классов эквивалентности.
| Уметь иллюстрировать типы бинарных отношений на примерах, находить в случае конечного множества классы эквивалентности по бинарному отношению и разбиение множества на классы эквивалентности.
|
Тема 1.2. Элементы комбинаторики
|
|
|
Выборки Сочетания и размещения без повторений и с повторениями, перестановки.
| Знать понятие выборки с повторением и без повторения, упорядоченной и неупорядоченной; определения сочетаний и размещений без повторений, перестановок, сочетаний и размещений с повторениями.
| Уметь иллюстрировать типы выборок на примерах.
|
Правило произведения и правило суммы, формулы подсчета числа сочетаний и размещений
| Знать правила произведения и суммы подсчета числа выборок, формулы подсчета числа сочетаний, размещений, перестановок.
| Уметь иллюстрировать на примерах правила произведения и суммы, формулы числа сочетаний и размещений с повторениями и без повторений и применять их для решенияодношаговых задач (т.е. задач, сводящихся к использованию одной комбинаторной формулы).
|
Бином Ньютона. Комбинаторные соотношения.
| Знать формулу бинома Ньютона, тождество Паскаля и его вывод, процедуру построения треугольника Паскаля.
| Уметь находить биномиальные коэффициенты с помощью треугольника Паскаля, доказывать несложные комбинаторные тождества путем алгебраических преобразований.
|
Тема 1.3. Булевы функции и способы их задания
|
|
|
Булева функция. Задание булевой функции таблицей истинности и вектором значений. Элементарные функции.
| Знать понятия булева вектора и булевой функции, способы задания булевой функции таблицей истинности и вектором значений, определения, обозначения и названия элементарных булевых функции одной и двух переменных.
| Уметь находить номер булева вектора, приводить примеры булевых функций 1, 2, 3, 4-х переменных, заданных таблицей истинности и вектором значений
|
Задание функций формулами. Основные равносильности над множеством .
| Иметь представление о понятии формулы над множеством функций, о функции, реализуемой формулой, о равносильных формулах. Знать формулировку и доказательства основных равносильностей над множеством .
| Уметь приводить примеры формул над заданным множеством функций, находить таблицу истинности и вектор значений функции, заданной формулой; упрощать формулы и доказывать равносильность формул, используя для этого таблицы истинности и равносильные преобразования.
|
Тема 1.4. Совершенные дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы
| |
|
Двойственные функции
| Знать определение функции, двойственной к данной, и процедуру построения двойственной функции по таблице истинности и вектору значений исходной функции.
| Уметь иллюстрировать на примерах нахождение двойственной функции с использованием определения. Уметь находить двойственную функцию, применяя процедуру построения двойственной функции по таблице истинности и вектору значений исходной функции.
|
Принцип двойственности.
| Знать формулировку принципа двойственности для формул над произвольной системой функций и для формул над множеством .
| Уметь, используя принцип двойственности; задавать формулой функцию, двойственную функции, заданной формулой над множеством .
|
Разложение функции по переменным. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма (СДНФ).
| Знать формулировку теоремы о представлении функции в виде СДНФ.
| Уметь описать процедуру построения СДНФ заданной таблицей истинности, и представлять в виде СДНФ функцию, заданную таблицей истинности или вектором значений.
|
Совершенная конъюнктивная нормальная форма (СКНФ)
| Знать формулировку теоремы о представлении функции в виде СКНФ.
| Уметь описать процедуру построения СКНФ функции, заданной таблицей истинности, и представлять в виде СКНФ функцию, заданную таблицей истинности или вектором значений.
|
Тема 1.5. Минимизация дизъюнктивных нормальных форм
|
|
|
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ), минимальные ДНФ, постановка задачи о минимизации ДНФ.
| Знать определение элементарной конъюнкции, дизъюнктивной нормальной формы (ДНФ), сложности ДНФ, минимальной ДНФ, постановку задачи о минимизации ДНФ, процедуру нахождения минимальной ДНФ методом полного перебора.
| Уметь определять ранг элементарной конъюнкции, сложность ДНФ.
|
Сокращенная ДНФ, тупиковые ДНФ
| Знать определения импликанты, простой импликанты, сокращенной ДНФ, тупиковой ДНФ, иметь представления о взаимосвязях между самой функцией и ее сокращенной, тупиковыми и минимальными ДНФ.
| Уметь определять, является ли элементарная конъюнкция импликантой, простой импликантой функции.
|
Алгоритмы построения сокращенной, тупиковых и минимальных ДНФ
| Иметь представление об алгоритме Квайна построения сокращенной ДНФ из СДНФ функции, о процедуре построения тупиковых ДНФ из сокращенной с помощью импликантной таблицы, об отборе минимальных ДНФ из тупиковых.
| Уметь находить сокращенную, тупиковые и минимальные ДНФ функции.
|
Тема 1.6. Классы Поста и замыкание
| |
|
Полином Жегалкина.
| Знать определение полинома Жегалкина, формулировку и доказательство теоремы о представлении функции полиномом Жегалкина.
| Уметь находить полином Жегалкина методом равносильных преобразований и методом неопределенных коэффициентов.
|
Функции, сохраняющие 0, 1. Самодвойственные, монотонные, линейные функции.
| Знать определения функций, сохраняющих 0, 1, самодвойственных, монотонных, линейных функций, определения и обозначения классов Поста: , , .
| Уметь определять принадлежность функции каждому из классов Поста.
|
Замыкание системы булевых функций. Замкнутость классов Поста.
| Знать определение операции замыкания системы булевых функций, понятие замкнутых систем, формулировку утверждения о замкнутости классов Поста.
| Уметь иллюстрировать на примерах операцию замыкания системы булевых функций.
|
Тема 1.7. Полнота системы булевых функций
|
|
|
Полнота системы булевых функций. Теорема о полноте двух систем.
| Знать определение полной системы булевой функции, доказательство полноты системы , формулировку и доказательство теоремы о полноте двух систем.
| Уметь доказать полноту систем , .
|
Критерий полноты систем булевых функций (теорема Поста)
| Знать формулировку критерия полноты системы булевых функций (теоремы Поста).
| Уметь определять, полна или нет система булевых функций, используя критерий полноты Поста.
|
Базисы
| Знать определение базиса, важные примеры базисов (дизъюнктивный, конъюнктивный базис Буля, базис Жегалкина, базис Шеффера, базис Пирса).
| Уметь определять, является ли базисом система булевых функций.
|