Задачи 11 и 12 связаны с истечением жидкости

Через отверстия и насадки.

Задача 11. Определить скорость перемещения поршня вниз, если к штоку приложена сила F = 10 кН. Поршень диаметром D = 50 мм имеет пять отверстий диаметром d₀ = 2 мм каждое. Отверстия рассматривать как внешние цилиндрические насадки с коэффициентом расхода μ =0,82; ρ= 900 кг/м³. Рис. 10.

Решение.

Избыточное давление под поршнем ΔР, создаваемое силой F, определяется выражением:

πD² ΔР/4 = F откуда ΔР = 4 F /( πD²) = 4*10 10³/(3,14*0,05²) = 5,09 МПа.

Объемный расход жидкости через одно отверстие определяется выражением:

 

q = μ(π d² /4)(2 ΔР /ρ)^1/2 = 0,82(3,14*0,002²/4)(2*5,09 10⁶/900)^1/2 = 2,73 10^-4 м³/с.

Рис.10

Общий расход через пять отверстий Q = 5q.

Скорость перемещения поршня определяется по формуле:

 

U_п = Q/( πD² /4) = 5*2,73 10^-4 (3,14*0,05²/4) = 0,7 м/с.

 

Задача 12. Правая и левая полости цилиндра гидротормоза, имеющего диаметр поршня D = 140 мм и диаметр штока d = 60 мм, сообщаются между собой через дроссель с площадью проходного сечения S_др = 20 мм² и с коэффициентом расхода μ = 0,65. Определить время, за которое поршень переместится на величину хода L = 350 мм под действием силы F = 15 кН, плотность жидкости ρ= 900 кг/м³. Рис. 11.

Решение.

Перепад давления между левой и правой полостями цилиндра определяется выражением:

π(D² – d²) (Р_л – Р_п) /4 = F или π(D² – d²) ΔР_ц /4 = F

Поскольку левая и правая полости цилиндра гидротормоза соединены с дросселем параллельно, то перепад давления между полостями ΔР_ц равен перепаду давления на дросселе ΔР_др. Отсюда следует, что:

ΔР_др = 4 F /( π(D² – d²)) = 4*15 10³ /(3,14(0,14² – 0,06²)) = 1,19 МПа

Расход жидкости через дроссель:

Q = μ S_др (2 ΔР_др /ρ)^1/2 = 0,65*20 10^-6 (2*1,19 10⁶ /900)^1/2 = 6,67 10^-4 м³/с.

Скорость перемещения поршня определяется по формуле:

U_п = Q/( π(D² – d²)) /4),

Рис. 11

а время перемещения поршня t на расстояние L равно:

t = L / U_п = L π(D² – d²) /(4 Q) = 0,35*3,14(0,14² – 0,06²) / (4*6,67 10^-4)= 6,6 с.

 

Задачи 13 - 15 связаны с гидравлическим расчетом трубопроводов.

Задача 13. Определить потребный напор, который необходимо создать в сечении 0 – 0 для подачи в бак воды с вязкостью ν = 0,008 Ст, если длина трубопровода L = 80 м, его диаметр d = 50 мм, расход жидкости Q = 15 л/с, высота Н₀ = 30 м, давление в баке Р₂ = 0,2 МПа. Коэффициент сопротивления крана ζ₁ = 5, колена ζ₂ = 0,8, шероховатость трубы Δ = 0,04 мм. Рис. 12.

Решение.

Переведем величину кинематической вязкости ν в систему СИ: ν = 8 10^-7м²/с.

Скорость течения жидкости в трубопроводе равна:

 

U = Q /( πd²/4) = 15 10^-3 /(3,14*0,05²/4) = 7,64 м/с.

Определяем число Рейнольдса:

Re = Ud / ν = 7,64*0,05/8 10^-7 = 4,78 10^5..

 

Так как Re > 4000, то режим течения – турбулентный. Коэффициент гидравлического сопротивления при турбулентном режиме течения в трубе с шероховатыми стенками рассчитывается по формуле:

 

 

λ_т = 0,11 (68/ Re + Δ/d)^1/4 = 0,11(68 / 4,78 10⁵ + 0,00004/0,05)^1/4 = 1,93 10^-2.

Рис. 12

Величина давления, которое нужно создать в сечении 0 – 0, с учетом того, что, как следует из рисунка, трубопровод имеет 4 колена, а поток воды при истечении в бак претерпевает внезапное расширение (ζ _рас = 1), рассчитывается по формуле:

 

Р = Р₂ + ρg Н₀ + (λ_т L/d + ζ₁ + 4 ζ₂ + ζ _рас) U²ρ/2 = 0,2 10⁶ + 1000*9,81*30 +

+ (1,93 10^-2 80/0,05 + 5 + 4*0,8 + 1) 7,64² *1000/2 = 1,66 МПа.

Напор равен:

Н = Р/(ρg) = 1,66 10⁶ / (1000*9,81) = 169,6 м.

Задача 14. Какое давление должен создавать насос при подаче масла Q = 0,4 л/с и при давлении воздуха в пневмогидравлическом аккумуляторе Р₂ = 2 МПа, если коэффициент гидравлического сопротивления квадратичного дросселя ζ _др = 100; длина трубопровода от насоса до аккумулятора L = 4 м; диаметр d = 10 мм? Свойства масла: ρ= 900 кг/м³; ν = 0,5 Ст. Коэффициент ζ _др отнесен к трубе с d = 10 мм. Рис. 13.

Решение.

Переведем величину кинематической вязкости ν в систему СИ: ν = 5 10^-5м²/с.

Скорость течения жидкости в трубопроводе равна:

U = Q /( πd²/4) = 0,4 10^-3 /(3,14*0,01²/4) = 5,1 м/с.

Определяем число Рейнольдса:

Re = Ud / ν = 5,1*0,01/5 10^-5 = 1,02 10^3..

Так как число Рейнольдса Re < 2300, то режим течения ламинарный. Коэффициент гидравлического сопротивления при ламинарном режиме течения рассчитывается по формуле:

λ _л = 64 / Re = 64 /1,02 10³ = 62,75 10^-3.

Рис. 13

Величина давления, которое должен создавать насос, с учетом того, что поток воды при истечении в пневмогидравлический аккумулятор претерпевает внезапное расширение (ζ _рас = 1), определяется по формуле:

 

Р = Р₂ + (λ _л L/d + ζ _др + ζ _рас) U²ρ/2 = 2 10⁶ + (62,75 10^-3*4/0,01 + 100 +

+ 1) 5,1²*900/2 = 3,48 МПа.

 

Задача 15. Вода перетекает из бака А в резервуар Б по трубе диаметром d = 25 мм, длиной L = 10 м. Определить расход Q, если избыточное давление в баке Р₁ = 200 кПа; высоты уровней Н₁ = 1 м, Н₂ = 5 м. Режим течения считать турбулентным. Коэффициенты гидравлического сопротивления: сужения - ζ _суж = 0,5; крана - ζ _кр = 4; колена - ζ _ко = 0,2; расширения - ζ _рас = 1; λ_т = 0,025. Рис. 14.

Решение.

Если через Р_а обозначить давление в окружающей среде, то абсолютное давление в баке:

 

Р_1а = Р₁ + Р_а.

 

Величина давления, которое создано в баке, с учетом того, что, как следует из рисунка, трубопровод имеет 3 колена, рассчитывается по формуле:

 

Р_1а + ρg Н₁ = Р₁ + Р_а + ρg Н₁ = Р_а + ρg Н₂ + (λ_т L/d + ζ_суж + ζ _кр +

+3 ζ_ко + ζ _рас) U²ρ/2.

Рис. 14

После преобразований получим, что скорость течения жидкости в трубе U, определяется выражением:

 

U = ((Р₁/(ρg) + Н₁ – Н₂) / ((λ_т L/d + ζ_суж + ζ _кр +3 ζ_ко + ζ _рас) /(2g)))^1/2 =

= ((200 10³/(1000*9,81) + 1 – 5) /((0,025*10/0,025 + 0,5 + 4 +

+ 3*0,2 + 1)/(2g)))^1/2 = 4,47 м/с.

 

Объемный расход равен:

 

Q = πd² U /4 = 3,14*0,025²*4,47 /4 = 2,19 10^-3 м³/с = 2,19 л/с.

 

Задачи 16, 17 связаны с расчетом гидроудара.

 

Задача 16. Насос , оборудованный воздушным колпаком, перекачивает бензин по трубопроводу длиной L = 5 км, диаметром d = 75 мм. Толщина стенки трубы δ = 5 мм. Объемный расход бензина Q = 9*10^-3м³/с. Плотность бензина ρ = 740 кг/м³. Модуль упругости бензина Е_ж = 1,1*10⁹ Па, трубы Е_т = 2*10¹¹ Па.

Определить за какое время надо перекрыть задвижку, чтобы ударное повышение давления не превосходило ΔΡ = 1 МПа?

Решение.

Скорость движения бензина в трубопроводе равна

 

U = 4 Q/(πd²) = 4*9*10^-3/)3,14*0,075²) = 2,04 м/с

Скорость ударной волны

 

С = (Е_ж/ ρ)^1/2(1 +(Е_ж* d)/( Е_т* δ))^-1/2 = (1,1*10⁹ / 740)^1/2(1 +( 1,1*10⁹ *

0,075)/( 2*10¹¹ *0,005 )))^-1/2 = 1170 м/с.

Если бы гидравлический удар был прямым, то

 

ΔΡ_уд = ρС U = 740*1170*2,04 = 1,77 МПа,

 

что больше допустимого ΔΡ= 1 МПа.

Следовательно, удар должен быть не прямым. Фаза гидравлического удара равна

 

Т = 2 L/С = 2*5*103/1170 = 8,55 с.

Необходимое время закрытия задвижки

 

Т_зад = ρС UТ/ ΔΡ_уд = 740*1170*2,04*8,55/10⁶ = 15,1 с.

 

Задача 17.По трубопроводу длиной L = 29 м, диаметром d = 0,,05 м

с толщиной стенки трубы δ = 3,5 мм, соединенному с баком под напором Н = 2,5 м, течет вода Е_ж = 2*10⁹ Па. В некоторый момент времени происходит мгновенное перекрытие потока на трубопроводе. Найти скорость распространения ударной волны гидравлического удара, если труба стальная Е_т = 2*10¹¹ Па. Коэффициент гидравлического сопротивления при течении жидкости в трубе λ = 0,03. Как изменится ударное повышение давления, если стальную трубу заменить на чугунную с Е_т = 0,98*10¹¹ Па?

Решение.

Из уравнения Бернулли определим скорость воды в трубе до закрытия задвижки, считая, что труба горизонтальна.

 

Н = U²/(2g) + λ L U²/( d 2 g ).

 

U = [2gH/(1 + λ L/ d)]^1/2 = [2*9,88*2,5/(1 + 0,03* 29/ 0,05)]^1/2 = 1,94 м/с.

Скорость ударной волны

 

С = (Е_ж/ ρ)^1/2(1 +(Е_ж* d)/( Е_т* δ))^-1/2 = (2*10⁹ /1000)^1/2(1 +( 2*10⁹ *

0,05)/( 2*10¹¹ *0,0035 )))^-1/2 = 1320 м/с.

 

То ударное повышение давления

 

ΔΡ_уд = ρС U = 1000*1320*1,94 = 2,56 МПа,

 

В чугунной трубе с Е_т = 0,98*10¹¹ Па

 

С = (Е_ж/ ρ)^1/2(1 +(Е_ж* d)/( Е_т* δ))^-1/2 = (2*10⁹ /1000)^1/2(1 +( 2*10⁹ *

0,05)/( 0,98*10¹¹ *0,0035 )))^-1/2 = 1240 м/с.

ΔΡ_уд = ρС U = 1000*1240*1,94 = 2,41 МПа,

то есть ударное повышение давления уменьшится.