Модель «доходность-риск Марковица»

Моделей Шарпа, Марковица,Блека,САРМ»

 

 

Выполнил:

студенты группы ФТ1-1М

Самедов Т.Ф.

Столбовой А. А.

 

 

Проверила:

к.э.н., профессор

Федорова Е.А.

 

 

Москва — 2018

 

 

Исследование формирования инвестиционного портфеля ценных бумаг.

Выбор акций входящих в инвестиционный портфель.

Для расчета моделей оптимального портфеля взяты ежедневные данные о котировках акций за два года: с 14 мая 2015 по 15 декабря 2016 года.

Инвестиционный капитал портфеля – 1 000 000 руб.

Таблица2.1.

Список акций

Номер Код Наименование
ALRS ПАО АК АЛРОСА, ао MAGN ПАО ММК, ао MSNG ПАО Мосэнерго, ао PIKK ПАО Группа Компаний ПИК, ао RSTI ПАО Российские сети, ао

Для расчета доходности ценной бумаги за день воспользуемся формулой:

Где m_t – доходность акции за один день, С₁ – цена продажи, С₀ – цена покупки.

Средняя доходность акции за период рассчитывается по формуле:

Где m_t – доходность акции за день, T – количество дней наблюдений.

Риск ценной бумаги измеряют с помощью дисперсии σ² и стандартного отклонения σ рассчитываемых по формулам:

Порядок расчетов в Excel приведен в Приложении 3. В результате расчетов получены данные о доходности и риске каждой ценной бумаги представленные в таблице 2.2. и на рисунке 2 и 3.

 

Таблица 2.2.

Доходность и риск акций

	Наименование	Доходность	Риск
	ALRS	0,102900848	0,018443088
	MAGN	0,066542	0,021263
	MSNG	0,068686	0,025578
	PIKK	0,048476	0,012931
	RSTI	0,079143	0,023805

 

 

Группировка акций по доходности представлена на рисунке 3. Наибольшую доходность имеют акции ПАО Мосэнерго, ПАО Российские сети. Наименьшую доходность имеют акции ПАО Группа Компаний ПИК.

 

 

 

Рис. 3. Доходность акций.

 

Группировка акций по степени риска представлена на рисунке 4. Наибольшую степень риска имеют акции ПАО Мосэнерго, ПАО Российские сети, имеющие наибольшую доходность. Акции компании ПАО Группа Компаний ПИК имеют наименьший риск и соответственно наименьшую доходность.

 

Рис. 4. Риск акций

Доходность портфеля составленного из 5 выбранных активов, взятых в равных долях находим по формуле (1.1.)

n 10

m_p=∑ X_im_i ; m_p=∑ m_i/10

i=1 i=1

Риск данного портфеля определим по формуле (1.9.)

Для нахождения риска портфеля используем ковариационную матрицу доходностей акций.

Расчет ковариации по формуле 1.3.

С помощью надстройки Excel Анализ данных → Ковариация.

В результате расчетов получаем данные о доходности и риске портфеля из 5 акций, входящих в портфель равными долями:

Доходность портфеля m_p= 0,001178891

Риск портфеля σ_р= 0,010202076.

Модель «доходность-риск Марковица»

Задача оптимизации портфеля заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целям инвесторов. Например, целевой функцией может быть минимизация риска при заданной доходности, или максимизация дохода при риске не выше заданного. При этом на компоненты вектора Х, представляющего портфель, могут накладываться различные ограничения, зависящие от вида сделки, типа участвующих активов, величины открываемых позиций и т. д. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка называются допустимыми.

На практике используют множество методик формирования оптимальной структуры портфеля ценных бумаг. Большинство из них основано на методике Г. Марковица^[15]. Он впервые предложил математическую формализацию задачи нахождения оптимальной структуры портфеля ценных бумаг в 1951 году, за что позднее был удостоен Нобелевской премии по экономике.

Основными постулатами, на которых построена классическая портфельная теория, являются следующие:

1. Рынок состоит из конечного числа активов, доходности которых для заданного периода считаются случайными величинами.

2. Инвестор в состоянии, например, исходя из статистических данных, получить оценку ожидаемых (средних) значений доходностей и их попарных ковариаций и степеней возможности диверсификации риска.

3. Инвестор может формировать любые допустимые (для данной модели) портфели. Доходности портфелей являются также случайными величинами.

4. Сравнение выбираемых портфелей основывается только на двух критериях – средней доходности и риске.

5. Инвестор не склонен к риску в том смысле, что из двух портфелей с одинаковой доходностью он обязательно предпочтет портфель с меньшим риском.

Методика Г. Марковица оптимизирует структуру портфеля ценных бумаг на основе статистической информации.

Для практического использования модели Марковица необходимо определить для каждой акции ожидаемую доходность, ее стандартное отклонение и ковариацию между акциями. Если имеется эта информация, то, как показал Марковиц, с помощью квадратичного программирования можно определить набор «эффективных портфелей».

В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Это значит, что на вектор Х накладываются два ограничения: основное

 

и неотрицательности x_i ³ 0 для всех i.

Портфель называют стандартным, если ин­вестор по каждому активу находится в длинной (long) позиции. Длинная позиция — это обычно покупка актива с намерением его последующей про­дажи (закрытие позиций). Такая покупка обычно осуществляется при ожи­дании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи. Допустим, что относительно некоторого ак­тива инвестор уверен в обратном, то есть в понижении его стоимости. В этом случае он может совершить сделку, которая называется короткой продажей (short sale). Для этого он берет данный актив взаймы у другого инвестора (кредитора), сразу же продает его, а впоследствии покупает на рынке по сниженной цене и возвращает его своему кредитору. При этом он обязан выплатить кредитору текущий доход по активу за время сделки и некоторый процент за предоставление самой возможности сделки (за кредит). На большинстве

фондовых бирж короткие продажи вполне допустимы и часто используются, но ввиду их особой рискованности биржи могут вводить ограничения на общую величину коротких позиций в сделках.

Особенностью модели Марковица является то, что доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен[1].

Для нахождения портфеля максимальной доходности с заданным уровнем риска воспользуемся надстройкой Excel «Поиск решения».

Средняя доходность и риск каждой ценной бумаги приведены в таблице 2.2.

Модель может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти вектор Х= (X₁, X₂,…., X₁₀), максимизирующий доходность портфеля m_p.

X₁, X₂,…., X₁₀ – доли ценных бумаг в портфеле.

m₁, m_{2, …..,} m₁₅ – средняя доходность каждой ценной бумаги.

Целевая функция:

m_p= m₁ * X₁+ m₂ * X₂ +……+ m₁₀ * X₁₀ ®max

при ограничениях

X₁ + X₂ +…+ X₁₀ =1

X₁,X₂,… X₁₀ ³ 0

Для ограничения риска портфеля возьмем вторую минимальную степень риска ценных бумаг входящих в портфель – акций ПАО Мосэнерго (σ=0,025578)

σ_р= √X^T *Cov *X = 0,025578.

В результате расчетов получен оптимальный портфель (рис.5) с максимальной доходностью m_p= 0,0105135 и риском σ_р= 0,09929171.

В состав портфеля вошли 2 ценных бумаг.

 

MSNG	67,92%
RSTI	32,08%

Инвестиционный капитал составляет 1000000 руб. Цена покупки одной акции приведена в долларах США. Курс доллара составлял 64 руб. 33 коп. (на 01.05.16г.).

В таблице 2.3. представлены:

- процентное соотношение бумаг, входящих в портфель;

- суммы, инвестируемые в каждый вид акций;

- количество акций каждого эмитента, необходимых для формирования эффективного портфеля. (Приложение 6)

 

 

 

Рис.5. Модель Марковица максимальной доходности.

Таблица 2.3.