Модель Шарпа минимального риска

2018-07-06

686

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 123 Следующая ⇒

Главным недостатком модели Марковица является то, что она требует очень большого количества информации. Гораздо меньше вычислений требуется в модели У. Шарпа. Последнюю можно считать упрощенной версией модели Марковица. Если модель Марковица можно назвать мультииндексной моделью, то модель Шарпа называют диагональной моделью или моделью единичного индекса.

Согласно Шарпу, прибыль на каждую отдельную акцию строго коррелирует с общим рыночным индексом, что значительно упрощает процедуру нахождения эффективного портфеля.

В качестве рыночного показателя можно использовать фондовые индексы. Для российского рынка удобнее применять индекс РТС. Особенностью индекса РТС является большая выборка, охватывающая весь список акций категории «А» РТС (по состоянию на 15 июля 2005г.).

Формула, используемая для расчета индекса РТС, — взвешенное по капитализации арифметическое среднее стоимости акций компаний РТС, номинированных в долларах США.

Предположим, что доходности всех ценных бумаг за определенный период времени (например, месяц) связаны с доходностью рынка за данный период, т.е. с доходностью акции на рыночный индекс, такой, например, как индекс РТС. В этом случае с ростом рыночного индекса, вероятно, будет расти и цена акции, а с падением рыночного индекса, вероятно, будет падать и цена акции. Один из путей отражения данной взаимосвязи носит название рыночная модель (market model).

где m_i - доходность ценной бумаги i за определенный период (зависимая переменная);

m_r - доходность на рыночный индекс за этот же период (независимая, объясняющая переменная);

a_i - постоянная составляющая модели линейной регрессии, показывающая какая часть доходности i ценной бумаги не связана с изменением доходности на рыночный индекс, коэффициент смещения;

b_i - параметр линейной регрессии, называемый бета, показывающий чувствительность доходности i ценной бумаги к изменениям рыночной доходности, коэффициент наклона;

e_i - случайная погрешность.

Бета-коэффициент оценивает изменения в доходности отдельных акций в сопоставлении с динамикой рыночного дохода:

где s_ir- ковариация между доходностью акции i-ой бумаги и доходностью на рыночный индекс, а s_mr²- обозначает дисперсию доходности на индекс.

Ценные бумаги, имеющие коэффициент выше единицы, характеризуются как агрессивные и являются более рискованными, чем рынок в целом. Бета-коэффициент может быть положительным или отрицательным. Если он положителен, то доходность соответствующих ценных бумаг будет аналогична динамике рыночной доходности. При отрицательном бета - коэффициенте эффективность данной ценной бумаги будет снижаться при возрастании эффективности рынка.

Исходя из рыночной модели (2.5), общий риск ценной бумаги i, измеряемый ее дисперсией s_i², состоит из двух частей: рыночного и собственного риска (рис. 2.).

Общий риск ценной бумаги:

Где дисперсия рыночного индекса:

Дисперсия случайной погрешности ε_i:

1) b_is_m_rобозначает рыночный риск ценной бумаги i(измеренный в СКО).

2) s_eсобственный риск ценной бумаги i, мерой которого является СКО случайной погрешности e_i из уравнения (2.5.).

отношение рыночного риска к общему риску обозначается:

и называется R-squared (в регрессионном анализе R_i²называют коэффициентом детерминации). Это отношение характеризует долю риска данных ценных бумаг, вносимую рынком. Те бумаги, для которых R-squared велико, в каком-то смысле предпочтительнее, так как их поведение более предсказуемо.

Таким образом, коэффициент регрессии β служит количественным измерителем систематического риска, не поддающегося диверсификации. Ценная бумага, имеющая β - коэффициент, равный 1, копирует поведение рынка в целом. Если значение коэффициента выше 1, реакция ценной бумаги опережает изменение рынка как в одну, так и в другую сторону. Систематический риск такого финансового актива выше среднего. Менее рисковыми являются активы, β-коэффициенты которых ниже 1 (но выше 0).

Рассмотрим в этой ситуации портфель ценных бумаг. Оказывается, доходность (рисковой части) портфеля с зафиксированными долями бумаг также линейно зависит от доходности рынка. В самом деле, пусть доля i-й ценной бумаги есть x_i, тогда доходность портфеля:

Из уравнения (2.9.) можно показать, что общий риск портфеля состоит из двух компонент: рыночного риска и собственного риска.

где

увеличение диверсификации (увеличение количества ценных бумаг в портфеле) приводит к снижению общего риска портфеля. Это происходит вследствие сокращения собственного риска портфеля, в то время как рыночный риск портфеля остается приблизительно таким же.

Для формирования портфеля заданной эффективности с учетом ведущего фактора и минимального риска по модели У. Шарпа возьмем те же 5 акций и их доходность за два года, что и в предыдущем примере. В качестве рыночного показателя используем доходность индекса RTSI за тот же период.

Найдем бета-коэффициенты доходностей ценных бумаг к изменениям доходности рыночного индекса, а также дисперсию случайной составляющей σ_ε². Для этого воспользуемся функцией «Регрессия» программы Excel.

В общем виде задача оптимизации портфеля минимального риска с заданным уровнем эффективности выглядит следующим образом. Необходимо найти вектор Х= (X₁, X₂,… X_n), минимизирующий риск портфеля s_p _.

X₁, X₂,…., X₁₀ – доли ценных бумаг в портфеле.

Для решения задачи воспользуемся надстройкой Excel «Поиск решения».

В результате расчетов получен оптимальный портфель (рис.7) с максимальной доходностью m_p= 0,002357782 и риском σ_р= 0,05083.

Рис. 7. Оптимальный портфель по Шарпу.

В состав портфеля вошли 10 ценных бумаг.

Инвестиционный капитал составляет 1000000 руб. Цена покупки одной акции приведена в долларах США. Курс доллара составлял 64 руб. 31 коп. (на 01.05.16г.).

В таблице 2.5. представлены:

- процентное соотношение бумаг, входящих в портфель;

- суммы, инвестируемые в каждый вид акций;

- количество акций каждого эмитента, необходимых для формирования эффективного портфеля.

Таблица 2.5.

Состав портфеля минимального риска по Шарпу.

курс доллара 64,33 общая сумма инвестируемых средств

Эмитент доли проценты цена покупки, USD цена покупки, руб. сумма инвестируемых средств,руб акции шт.

ALRS 0,091456232 9,15 4,85 312,0005 91456,23189 293,13

MAGN 0,050998752 5,10 150,00 9649,5 50998,75241 5,29

MSNG 0,669671298 66,97 0,04 2,31588 669671,2978 289164,94

PIKK 0,125717155 12,57 52,00 3345,16 125717,1546 37,58

RSTI 0,062156563 6,22 6,25 402,0625 62156,56332 154,59

1000000,00