Аналитическая геометрия Ферма

К разработке начал новой аналитической геометрии независимо друг от друга и одновременно приступили оба крупнейших французских ма­тематика XVII в.— Ферма и Декарт. Небольшое «Введение в изучение плоских и телесных мест» (Ad locos pianos et solidos isagoge) Ферма было написано несколько ранее 1637 г., но при жизни Ферма распространялось через Мерсепна и других только в рукописном виде. Напомним, что «плоские и телесные места» — термины греческой геометрии — означали прямые и окружности и соответственно эллипсы, параболы и гиперболы. Работа написана в обозначениях Виета с соблюдением однородности урав­нений.

Ферма формулирует принцип аналитической геометрии следующим образом: «Всякий раз, когда в заключительном уравнении имеются две неизвестные величины (quantitates ignotae), налицо имеется место, и ко­нец одной из них описывает прямую или же кривую линию... Для уста­новления уравнений удобно расположить обе неизвестные величины под некоторым заданным углом (который мы большей частью принимаем прямым) и задать положение и конец одной из величин»[3]. Как мы видим, под неизвестными величинами (координатами) Ферма понимает прямоли­нейные отрезки: первую из них он всякий раз обозначает NZ и алгебра­ически буквой А, а вторую соответственно ZI и Е. Затем по порядку рас­сматриваются различные плоские и телесные места.

Уравнение прямой, проходящей через начальную точку, Ферма вы­водит в форме

D на А равно В на Е,

т. е. dx = by (на рис. 7 нанесена лишь часть прямой NI, так как Ферма пользуется положительными координатами). К этому случаю приводится общее уравнение первой степени (с указанным ограничением) и несколько далее однородное уравнение второй степени, причем здесь говорится лишь об одной из двух возможных прямых. Первое приведение по существу со­стоит в преобразовании координат, именно в параллельном сдвиге вдоль горизонтальной оси: от уравнения вида с - dx = by Ферма переходит к d (r - х) = by, где dr = с. Идею преобразования координат путем па­раллельного переноса системы Ферма более отчетливо выражает в сле­дующих примерах: установив сначала, что в прямоугольной системе уравнение окружности с центром в начальной точке есть b² - x² = у², он правильно характеризует общее уравнение окружности и для образца преобразует к основной форме уравнение

b² - 2dx = у² + 2r у.

Для этого он производит дополнение до квадрата

p¹ - (х + d)² = (у + r)², где р² = r² + b² + d²,

затем пишет снова x вместо x + d и y вместо у + r и получает

p² - x² = у².

Следует заметить все же, что Ферма обходит молчанием вопрос об отрица­тельных координатах, какими оказываются координаты центра (-d, -r) в данной задаче (ибо d и r у него положительные). Разумеется, построить центр для него не представляло труда и в этом случае.

Основные уравнения конических сечений представляют собой у Ферма непосредственное выражение в терминах алгебры их свойств, известных по труду Аполлоиня. Для параболы это уравнения x² = dy и симметричное у² = dx, для эллипса (b² - x²)/y² = const (указывается, что в случае непрямого координатного угла кривая будет эллипсом и при const = 1), для гиперболы (b² + x²)/y² = const. Любопытно, что на рисунке в по­следнем случае изображены обе ветви гиперболы, хотя опять-таки об отрицательных координатах ничего не сказано. Кроме того, приводится уравнение равносторонней гиперболы ху=с. Все это распространяется на соответствующие уравнения, дополненные линейными членами.

На частном примере уравнения b² - 2x² = 2xy + у² Ферма разбирает и наиболее трудный случай, когда группа старших членов содержит и член с произведением координат. Его выкладки и построения соответствуют пе­реходу к новой системе координат X, Y с прежним началом и осью орди­нат и с осью абсцисс, образующей угол 45° со старой. В этой системе Х = х, Y = x + у, так что (2b² — X²)/Y²= 2 и фигура есть эллипс.

Изложив все это, Ферма писал: «Таким образом мы коротко и ясно изложили все, что оставили невыясненным древние относительно плоских и телесных мест»[4]. На самом деле был сделан лишь первый шаг к созда­нию нового типа геометрии, которая, между прочим, получила свое ны­нешнее наименование лишь в самом конце XVIII в.[5]