Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости

Выдвинутая гипотеза может быть правильной или неправильной, поэ­тому возникает необходимость проверить ее. Поскольку проверку произво­дят статистическими методами, ее называют статистической. В итоге статистической проверки гипотезы в двух случаях может быть принято неправильное решение, т.е. могут быть допущены ошибки двух родов.

Ошибка первого рода состоит в том, что будет отвергнута правиль­ная гипотеза.

Ошибка второго рода состоит в том» что будет принята неправильная гипотеза.

Правильное решение может быть принято также в двух случаях: гипотеза принимается; причем и в действительности она правильная; гипотеза отвергается, причем и в действительности она неверна.

Вероятность совершить ошибку первого рода принято обозначать q . Ее называют уровнем значимости. Наиболее часто уровень значимости принимают равным 0,05 или 0,01. Если, например, принят уровень значи­мости, равный 0,05, то это означает, что в пяти случаях из ста мы рис­куем допустить ошибку первого рода (отвергнуть правильную гипотезу).

Степень свободы параметра

. Степень свободы у какого-либо параметра определяют числом опы­тов, по которым рассчитывают данный параметр, за вычетом количества констант, найденных по этим опытам независимо друг от друга.

Критическая область. Область принятия гипотезы.

Для проверки нулевой гипотеза используют специально подобранную случайную величину, точное или приближенное распределение которой известно. Ее обозначают t если она распределена по закону Стюдента, X ² - по закону "хи квадрат", F- по закону Фишера, G - по закону Кохрэна. Обозначим эту величину К

Статистическим критерием (или просто критерием) называется случайная величина К, служащая для проверки нулевой гипотезы.

Для проверки гипотезы по данным выборок вычисляют частные значения входящих в критерий величин и таким образом получают частное (наблюдаемое) значение критерия.

Наблюдаемым значением (К_набл) называют значение критерия, вычисленное по выборкам.                     .

После выбора определенного критерия множество всех его возможных значений разбивают на два непересекающихся подмножества; одноиз них содержит значения критерия, при которых нулевая гипотеза отверга­ется, а другое - при которых она принимается.

Критической областью называют совокупность значений критерия, при которых нулевую гипотезу отвергают.

Областью принятия гипотезы (областью допустимых значений)называ­ют совокупность значений критерия, при которых гипотезу принимают.

Основной принцип проверки статистических гипотез можно сформули­ровать так: если наблюдаемое значение критерия принадлежит критичес­кой области - гипотезу отвергают, если наблюдаемое значение критерия принадлежит области принятия гипотезы - гипотезу принимают.

Поскольку критерий К - одномерная случайная величина, все ее возможные значения принадлежат некоторому интервалу. Поэтому критическая область и область принятия гипотезы также являются интервалами, и, следовательно, существуют точки, которые их разделяют.

 Критическими точками К_кр называют точки, отделяющие критичес­кую область от области принятия гипотезы.

Различают, одностороннюю (правостороннюю или левостороннюю) и двустороннюю критические области.

Правосторонней называют критическую область, определяемую нера­венством К>К_кр , где К_кр- положительное число.

Левосторонней называют критическую область, определяемую нера­венством К<К_кр , где К_кр- отрицательное число.

Односторонней называют правостороннюю или левостороннюю крити­ческую областью.

Двусторонней называют критическую область, определяемую неравенствами K<K1, K>K2, где К2>К1. 

Критерий Стьюдента

t-критерий Стьюдента применяется, когда необходимо сделать статистический вывод, равно ли математическое ожидание M{Х} генеральной совокупности некоторому предполагаемому значению С или ког­да требуется построить доверительный интервал для M{Х}. Обнаруже­но, что случайная величина t (при независимых наблюдениях) распреде­лена по закону Стьюдента, если Х распределена нормально:

где N- общее число наблюдений (объем выборки),

Х - среднее арифметическое случайной переменной Х;

S{Х), S{X}- среднеквадратическое отклонение соответственно единичных значений Х и среднего арифметического Х.

На рис.1.2 показаны кривые дифференциального закона распределе­ния Ф( t ) для различных степеней свободы f=N-1 , по которым вычисляют несмещенную оценку дисперсии S²{ Х } . При сравнитель­но небольших N кривая Ф( t ) более пологая, чем нормальный закон распределения Ф(Х). При N----- кривая Ф( t ) приближается к кривой нормированного нормального распределения. Из рис.1.2 видно, что t-распределение симметрично относительно t=0, поэтому в таблицах, где даны критические значения t_кр = t _q,f для принятого уровня значимости q и имеющегося чис­ла степеней свободы f , задаются только положительные t _кр .

Если при расчете t по формуле (1.3) при подстановке в нее вместо М{X} предполагаемого значения С окажется, что t< t _кр , то можно сделать вывод о том, что гипотеза М{X} = С не проти­воречит результатам наблюдения при принятой уровне значимости q .

В противном случае эта гипотеза отвергается с тем же уровнем значимости q . При этом остается возможность совер­шить ошибку первого рода, т.е. отвергнуть верную гипотезу с вероят­ностью q .                     -

Рассмотрим использование t-критерия Стьюдента для построения доверительного интервала для математического ожидания.

При t=t_кр разность [X - M{Х}] в (1.3) равна половине шири­ны доверительного интервала __  т.е.

Доверительный интервал, в котором с доверительной вероятностью P = I - q находится математическое ожидание M{X} , определяется следующими выражениями:

Поскольку мате­матическое ожидание М{X} есть истинное, объективно существующее неслучайное значение, а границы интервала - случайные величины (за счет наличия в них случайных величин X и S{X}), то правильно будет говорить о том, что доверительный интервал (1.5), (1.6) с ве­роятностью Р = I - q накрывает М { X }.

Критерий Фишера

Критерий Фишера применяется при проверке гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей, распределенных по нормальному закону.

F-критерий Фишера называют дисперсионным отношением, так как он формируется как отношение двух сравниваемых несмещенных оценок дисперсий:

причем в числителе ставится большая из двух дисперсий. Расчетное F сравнивают с _____________, которое находятиз таблиц, для степеней свободы _____________________________________где N₁ - число элементов выборки, по который вычислена _______ .

N₂ - число элементов выборки, по которым получена оценка дисперсии ________.

Если F < F _кр , то принимается нулевая гипотеза о равенстве генеральных дисперсий _________________ при принятом уровне значимости q .

На рис. 1.3 показаны кривые распределения _____. Зачернена об­ласть критических значений F .

На практике задача сравнения дисперсий возникает, если требуется сравнить .точность приборов, инструментовили методов измерений. Предпочтительнее тот прибор, инструмент или метод, который обеспечи­вает наименьшее рассеяние результатов измерений, т.е. наименьшую дис­персию.

. .