Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде

Содержание

Введение

1. Основные понятия

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

4. Метод Гаусса решения общей системы с линейных уравнений

5. Критерий совместности общей системы линейных уравнений

Заключение

Список литературы

Введение

Многие теоретические и практические вопросы приводят не к одному уравнению, а к целой системе уравнений с несколькими неизвестными. Особенно важен случай системы линейных уравнений, т.е. системы m уравнений 1ой степени с n неизвестными:

a₁₁x₁ + … + a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + … + a_2n x _n = b₂;

………………………………

a_{m 1} x ₁ + … + a_mnx_n = b_m .

Здесь x₁, …, x_n – неизвестные, а коэффициенты записаны так, что индексы при них указывают на номер уравнения и номер неизвестного. Значение систем 1-й степени определяется не только тем, что они простейшие. На практике часто имеют дело с заведомо малыми величинами, старшими степенями которых можно пренебречь, так что уравнения с такими величинами сводятся в первом приближении к линейным. Не менее важно, что решение систем линейных уравнений составляет существенную часть при численном решении разнообразных прикладных задач.

Способы решения систем линейных уравнений – очень интересная и важная тема. Системы уравнений и методы их решения рассматриваются в школьном курсе математики, но недостаточно широко. А для того, чтобы перейти к исследованию данной темы, также нужно было познакомиться с темой матриц и определителей. Этот же материал вообще в школьной программе не изучается. В процессе знакомства с данной работой приобретаются навыки, с помощью которых в последующем решение систем линейных уравнений станет намного проще, понятнее и быстрее.

Цель моей работы заключается в том, чтобы изучить различные способы решения систем линейных уравнений для применения их на практике.

 

Основные понятия

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (1)

……………………………………

a_{m 1} x ₁ + a_{m 2} x ₂ + …+ a_mnx_n = b_m ;

где х₁, х₂, …, х _n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁, а₁₂, …, а _mn называются коэффициентами системы, а b ₁ , b ₂ , …, b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а _ij (i =1, 2,..., m ; j = 1, 2,..., n) и свободные члены b_i (i =1, 2,..., m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а _ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс – номеру неизвестной х _i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений. Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел α ₁ , α ₂ , α_n , которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х₁, х₂, …, х _n , обращает все уравнения системы в тождества. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений. Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

 

2. Система n линейных уравнений с n неизвестными. Правило Крамера

 

Пусть дана система n линейных уравнений с n неизвестными:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (2)

……………………………………

a_{n 1} x ₁ + a_{n 2} x ₂ + …+ a_nnx_n = b_n ;

Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов а _ij.

 

a₁₁ a₁₂ … a_1n

∆ = a₂₁ a₂₂ … a_2n

…………………………

a_n1 a_n2 … a_nn

Рассмотрим случай, когда ∆ ≠ 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через А _ij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента а _ij в определителе ∆.

Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ∆, т.е. первое уравнение умножим на А_{1 i}, второе – на А_{2 i} и т.д., наконец, последнее уравнение – на А _ni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь

(a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1ix_i + …+ a_1nx_n) A_1i + (a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2ix_i +

+ …+ a_2nx_n) A_2i + …+ (a_n1x₁ + a_n2x₂ + …+ a_nix_i + …+ a_nx_nn) A_ni = b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni

 

или, сгруппировав члены относительно известных x ₁ , x ₂ , …, x_n , получим

 

(a₁₁A_1i + a₂₁A_2i + …+ a_n1A_ni) x₁ + … +

+ (a_1iA_1i + a_2iA_2i + …+ a_niA_ni) x_i + … +

+ (a_1nA_1i + a_2nA_2i + …+ a_nnA_ni) x_n =

= b₁A_1i + b₂A_2i + …+ b_nA_ni. (3)

 

Коэффициент при неизвестной х _i равен определителю ∆, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х₁ тем, что коэффициенты а_{1 i} , а_{2 i} , …, а _ni заменены свободными членами b ₁ , b ₂ , …, b_n уравнения (2). Следовательно, выражение b ₁ A _{1 i} + b ₂ A _{2 i} + …+ b_nA_ni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ∆ x_i, будем иметь

 

a₁₁ a₁₂ … b₁ … a_1n

∆ x_i = a ₂₁ a ₂₂ … b ₂ … a _{2 n} . (3)

………………………………

a_{n 1} a_{n 2} … b_n … a_nn

Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде

 

∆х =∆ x_i ,

 

откуда при ∆ ≠ 0

х = ——

 

Придавая индексу i значения 1, 2, …, n, получаем:

х₁ = ——;

х₂ = ——;

(4)

………………

х _n = ——.

 

Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (4) – формулами Крамера.

 

3. Однородная система п линейных уравнений, с n неизвестными

 

Линейное уравнение называется однородным, если его свободный член равен нулю. Система линейных уравнений называется однородной, если все входящие в нее уравнения являются линейными однородными уравнениями.

Однородная система п линейных уравнений с п неизвестными имеет вид:

а₁₁х₁ + а₁₂х₂ + …+ а_{1 n} х_n = 0;

а₂₁х₁ + а₂₂х₂ + …+ а_{2 n} х_n = 0; (5)

…………………………………

а _{n 1} х₁ + а _{n 2} х₂ + …+ а _nn х_n = 0.

 

Непосредственной проверкой убеждаемся в том, что однородная система линейных уравнений (5) имеет нулевое решение:

х₁ = 0, х₂ = 0,..., х_п = 0.