Критерий совместности общей системы линейных уравнений
Как уже было отмечено, под общей системой линейных уравнений мы понимаем систему (2) в которой число неизвестных необязательно совпадает с числом уравнений. Пусть дана общая система линейных уравнений (2)и требуется установить признак существования решения этой системы, т.е. условия, при которых система (2)является совместной. Из коэффициентов при неизвестных и свободных членов системы (2) составим матрицу a11 a12 … a1n A = a21 a22 … a2n …………………… am1 am2 … amn которую назовем основной матрицей системы (2), и матрицу
a11 a12 … a1n b1 B = a21 a22 … a2n b2 ……………………… …… (13) am 1 am 2 … amn bm которую назовем расширенной матрицей системы (2). Теорема 2.1. Для того чтобы система (2) линейных неоднородных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы был равен рангу ее основной матрицы. Доказательство. Необходимость. Пусть система (2) совместна и c 1 , c2,..., сп – некоторое ее решение. Тогда имеют место равенства: а11с1 + а12с2 + …+ а1 n сn = b1; а21с1 + а22с2 + …+ а2 n сn = b2; . …………………………………… аm1с1 + аm2с2 + …+ аm n сn = bm
из которых следует, что последний столбец расширенной матрицы (13) есть линейная комбинация остальных ее столбцов с коэффициентами с1, с2,..., сп. Согласно предложению 2, последний столбец матрицы В может быть вычеркнут без изменения ее ранга. При этом мы из матрицы В получим матрицу А. Таким образом, если ci, cz ,..., сп — решение системы уравнении (2), то rang А = rang В. Достаточность. Пусть теперь rang A = rang В. Покажем, что при этом система уравнений (2) совместна. Рассмотрим r базисных столбцов матрицы А. Очевидно, что они будут базисными столбцами и матрицы В. Согласно теореме о базисных строках и столбцах, последний столбец матрицы В можно представить как линейную комбинацию базисных столбцов, а следовательно, и как линейную комбинацию всех столбцов матрицы А, т.е. b 1 = а11с1 + а12с2 + …+ а1 n сn; b 2 = а21с1 + а22с2 + …+ а2 n сn; . ………………………………… b m = аm1с1 + аm2с2 + …+ аm n сn
где c 1 , c 2 ,..., сп — коэффициенты линейных комбинаций. Таким образом, системе (14) удовлетворяют значения x 1 = c 1 ,..., хп = сп, следовательно, она совместна. Теорема доказана. Доказанная теорема совместности системы линейных уравнений называется теоремой Кронекера – Капелли.
Пример 1. Рассмотрим систему 5 x 1 – x 2 + 2 x 3 + x 4 = 7; 2 x 1 + x 2 – 4 x 3 – 2 x 4 = 1; x 1 – 3 x 2 + 6 x 3 – 5 x 4 = 0. Ранг основной матрицы этой системы равен 2, так как существует отличный от нуля минор второго порядка этой матрицы, а все миноры третьего порядка равны нулю. Ранг расширенной матрицы этой системы равен 3, так как существует отличный от нуля минор третьего порядка этой матрицы. Согласно критерию Кронекера – Капелли система несовместна, т.е. не имеет решений. Используя критерий Кронекера – Капелли, проведем исследование системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными x и y : a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2. (13)
Основная матрица этой системы a 1 b 1 a 2 b 2 имеет ранг r, причем 0 < r < 2. Расширенная матрица
a 1 b 1 с1 a 2 b 2 с2
имеет ранг R, причем 0 < r < R . Очевидно, что r < R < r +1. Имеют место следующие утверждения. Пусть дана система двух линейных уравнений с двумя неизвестными (13). Тогда: 1. Если r = R = 0, т.е. если все коэффициенты a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , c 1 , c 2 равны нулю, то любая пара действительных чисел является решением системы (13). 2. Если r = 0, R = 1, т.е. a 1 = a 2 = b 1 = b 2 = 0 и c + c ≠ 0, то система (13) не имеет решений. 3. Если r =1, R = 1, то система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел есть её решение. 4. Если r = 1, R = 2, то система (13) не имеет решений. 5. Если r = 2, R = 2, то система (13) имеет единственное решение, которое можно найти по правилу Крамера. Справедливы и обратные утверждения. 1. Если система (13) имеет единственное решение, то r = R =2. 2. Если любая пара действительных чисел является решением системы (13), то r = R = 0. 3. Если система (13) не имеет решений, то r ≠ R , т.е. либо r =0 и R = 1, либо r =1 и R = 2. 4. Если система (13) имеет бесконечно много решений, но не любая пара действительных чисел является её решением, то r = R = 1. Приведём доказательство этих утверждений только в том случае, когда оба уравнения системы (13) являются уравнениями первой степени, т.е. когда выполняются условия a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. В этом случае каждое уравнение этой системы в отдельности определяет прямую на плоскости, где задана система координат xOy. Это дает возможность придать геометрический характер дальнейшим рассуждениям при исследовании системы (13) Теорема 2.2. Пусть две прямые заданы уравнениями a1x + b1y – c1 = 0, a2x + b2y – c2 = 0, (14) где a + b ≠ 0, a + b ≠ 0. 1. Для того, чтобы две прямые пересеклись, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 2. 2. Для того, чтобы две прямые были параллельными, но не совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = 1, R = 2. 3. Для того, чтобы две прямые совпадали, необходимо и достаточно, чтобы r = R = 1. Доказательство. Сначала докажем достаточность условий. 1. Если r = R = 2, то система (14) имеет единственное решение, которое легко найти по правилу Крамера, а это означает, что прямые имеют одну общую точку, т.е. пересекаются. 2. Если r = 1, R = 2, то система (14) несовместна и поэтому прямые не имеют общих точек, т.е. параллельны и не совпадают. 3. Если r = R = 1, то все миноры второго порядка основной и расширенной матриц равны нулю, т.е. a1 b1 = 0, c1 b1 = 0, a1 c1 = 0. a2 b2 c2 b2 a2 c2 Эти условия можно переписать так: a1b2 = b1a2, (15) c1b2 = b1c2, (16) a1c2 = c1a2. (17) Рассмотрим теперь все возможные случаи. а) Если а1 = 0, то b 1 ≠ 0, так как a 1 + b 1 ≠ 0. Тогда из (15) следует, что а2 = 0, а так как a 2 + b 2 ≠ 0, то b 2 ≠ 0. Тогда из (16) находим, что c 1 / b 1 = c 2 / b 2 = α и при этом уравнения прямых примут вид b 1 ( y – α ) = 0, b 2 ( y – α ) = 0. Поскольку b 1 ≠ 0, b 2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой y – α = 0. б) Если b 1 = 0, то а1 ≠ 0, а из (15) тогда следует, что b 2 = 0(причем а2 ≠ 0). Тогда из (17) имеем c 1 / a 1 = c 2 / a 2 = β , и поэтому уравнения прямых примут вид а1( x – β ) = 0, а2( x – β ) = 0. Поскольку а1 ≠ 0, а2 ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают с прямой x – β = 0. в) Если а1 ≠ 0 и b 1 ≠ 0, то из (15) вытекает, что а2/ a 1 = b 2 / b 1 = γ , а из (16) и (17) вытекает, что с2 = b 2 c 1 / b 1 = a 2 c 1 / a 1. Т.е. получаем, что а2 = γа1, b 2 = γb 1 , c 2 = γc 1, и поэтому уравнения прямых примут вид a1x + b1y – c1 = 0, γ(a1x + b1y – c1)= 0. Поскольку γ ≠ 0, то отсюда вытекает, что эти прямые совпадают. Теперь докажем необходимость условий. Доказательство проведём методом от противного. 1. Пусть прямые пересекаются. Докажем, что r = R = 2. Если бы оказалось, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны и не совпадали. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими. Следовательно, r = R = 2. 2. Пусть прямые параллельны. Докажем, что r = 1, R = 2. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось, что r = R = 1, то по доказанному прямые оказались бы совпавшими. Следовательно, r = 1, R = 2. 3. Пусть прямые совпадают. Докажем, что r = R = 1. Если бы оказалось, что r = R = 2, то по доказанному прямые оказались бы пересекающимися. Если бы оказалось бы, что r = 1, R = 2, то по доказанному прямые были бы параллельны. Следовательно, r = R = 1.
Заключение В данной работе я изучила пути решения систем линейных уравнений наиболее простые и быстрые, также весь материал я исследовала не только теоретически, но и практически, приводя некоторые примеры в тексте.
Список литературы 1. А. Дадаян. Алгебра и геометрия. / А.А. Дадаян, В.А. Дударенко. 2. Ф.Р. Гантмахер. Теория матриц (издание третье)./Ф.Р. Гантмахер. 3. Математический энциклопедический словарь. 4. Л. Андреева. Реферат по математике „Системы уравнений”. / Л. Андреева. 5. Д.К. Фадеев. „Сборник задач по высшей алгебре”./ Д.К. Фадеев, И.С. Саминский
Популярное: Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (214)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |