Система идентичных частиц в буферном газе.

 

Наиболее простая модель плазмозоля [14] предполагает, что имеется “ансамбль” идентичных сферических частиц КДФ, обменивающихся электронами с химически нейтральным буферным (несущим) газом. Система неограниченна, и температура всех подсистем: газа, КДФ, электронов – постоянна и равна Т. Равновесная реакция ионизации макрочастицы с зарядовым числом

 

                                                                       (1.2.1)

 

как и ранее, описывается методами расчета равновесных химических систем. Поскольку конденсированные частицы (КЧ) в такой модели представляют собой фактически гигантские молекулы, то в константы равновесия реакций (1.2.1) (соответствующие константы Саха) должна войти разность энергии до и после ионизации КЧ. Эта размерность и является потенциалом ионизации m – кратно заряженной частицы КДФ, который в моделях выбирается равным

 

,                                                       (1.2.2)

 

где W – работа выхода с поверхности вещества частиц; e – заряд электрона; r_p – радиус сферической частицы.

Выбор потенциала ионизации частицы КДФ в виде (1.2.2) фактически означает предположение, что электрон, покидающий КЧ, затрачивает энергию, равную работе выхода с поверхности вещества незаряженной частицы, плюс работа, связанная с кулоновским взаимодействием между эмиттирующей КЧ и излучаемым электроном. Она равна кулоновской энергии электрона на поверхности КЧ только для уединенных макрочастиц или для достаточно разреженных систем. Действительно, в этом случае можно пренебречь эффектами объемного заряда и их влиянием на работу по удалению электрона.

На основе идеально-газовых представлений, как и ранее [(1.1.14), (1.1.14’), (1.1.15), (1.1.15’), (1.1.15’’)], получим соотношение для концентраций КЧ:

 

                                              (1.2.3)

 

где Q_m, Q_m-1 – статистический вес соответственно m- и (m-1) – кратно ионизованной частицы КДФ; m_e – масса электрона; h и k – постоянные Планка и Больцмана.

Обозначив n₀ концентрацию нейтральных КЧ в системе, построим цепочку уравнений Саха (1.2.3), считая что для макрочастиц Q_m/Q_m-1=1. Частицы плазмозоля с положительными зарядами дают последовательность уравнений, которыми определяются все более высокие степени ионизации отдельной КЧ. Таким образом, получаем набор уравнений для процессов термоэмиссии электрона с поверхности идентичных сферических частиц с зарядами q_m-1=(m-1)e, где m = 1, 2, 3, …, :

 

                                      (1.2.4)

                                                  

В уравнениях (1.2.4) К обозначена константа Саха для процесса термоэмиссии электрона с поверхности незаряженной частицы плазмозоля, т.е. для реакции  . Выражая из m – го уравнения  с помощью , которое в свою очередь, можно выразить  из (m-1) – го уравнения, и так далее, продолжая этот процесс вплоть до первого уравнения системы (1.2.4), получаем 

 

              .                    (1.2.5)

                         

После некоторых преобразований произведение в последней формуле запишем так:

 

                       .                                     (1.2.6)

 

В данном случае введены обозначения

 

                                                                      (1.2.7)

 

Аналогично для отрицательных степеней ионизации дисперсных частиц получим:

 

      (1.2.8)

 

По последнему уравнению (1.2.8) найдем . Выразим далее   из предыдущего уравнения этой системы и подставим его в выражение для . Продолжив, как и ранее, этот процесс вплоть до первого уравнения (1.2.8), окончательно получим

 

.                                  (1.2.9)

 

Уравнения (1.2.5) и (1.2.9) связывают концентрацию нейтральных частиц КДФ в плазмозоле с концентрациями m –кратно ионизованных положительных(1.2.9) макрочастиц. Совместно с законом сохранения заряда

 

                                                       (1.2.10)

 

и условием сохранения полного числа КЧ в плазмозоле

 

                                                             (1.2.11)

 (n_p – концентрация частиц КДФ) они позволяют определить замкнутую систему уравнений термоионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Из (1.2.10) и (1.2.11) можно найти среднюю ионизацию частиц КДФ, т.е. их среднее зарядовое число:

 

                                                   (1.2.12)

 

и относительную концентрацию электронейтральных макрочастиц в системе

 

.                                  (1.2.13)

 

Как показал Саясов, соотношения, аналогичные (1.2.12) и (1.2.13), могут быть преобразованы с помощью эллиптических θ – функций к удобному для математического анализа виду:

 

                                                                (1.2.14)

 

                                 (1.2.15)

 

Здесь

                                                      (1.2.16)

m=1,2,… .

На основе таблиц θ –функций построены зависимости lg(n_e/K) от lg(n_p/K) при

			Рис.2.Область применимости приближения Эйнбиндера в координатах lg(rp), lg(T)

 

 

различных значениях параметра σ², охватывающие достаточно широкий диапазон изменения размеров КЧ r_p и температур Т монодисперсного плазмозоля.

После некоторых преобразований приходим к формуле Эйнбиндера, которая достаточно точна для высоких степеней ионизации частиц.

На рис.2 в координатах (lg r_p, lg T), изображена область применения формулы

 

                                                                            (1.2.17)

 

к описанию ионизационного равновесия в плазмозоле идентичных частиц. Множество точек плоскости (r_p, T), соответствующее заштрихованной области I, выделяет состояния плазмозоля, для которых с относительной погрешностью  применима приближенная формула Эйнбиндера (1.2.17).

Эта формула является следствием идеально-газового приближения, т.е. получена без учета влияния микрополей на ионизацию частиц, а следовательно, корректна для систем газ – макрочастицы, в которых влиянием этих полей на ионизационные процессы можно пренебречь. Точность (1.2.17) повышается с усилением ионизации частиц КДФ, однако при этом все более начинают сказываться эффекты объемного заряда, что ограничивает его применимость “сверху” (в области больших зарядов свойства плазмозоля не могут аппроксимироваться идеально-газовым приближением).

Область II на рис.2, ограниченная координатными осями и линией ρ=1 (линия I), соответствует состояниям плазмозоля, которые = 2πσ²  ≤ 1, так что exp(-πρ) ≤ 0.1 и в (1.2.14) для среднего заряда КЧ логарифмическую производную d/dy(lnθ₃(y, ρ)) удобнее представить в виде разложения по параметрам y΄ и ρ´ [15, с.96]:

 

                                                                                          (1.2.18)

 

Распределение частиц КДФ по зарядам можно найти, используя (1.33), по которой определяют также относительную концентрацию дисперсных частиц с зарядовым числом m. Оно совпадает с нормальным (гауссовским) распределением [16], в котором σ имеет смысл дисперсии распределения.

В случае малой дисперсии σ²<<1 или ρ≤1, т.е. состояний плазмозоля, соответствующих точкам области II, имеем резкое распределение по зарядам и термоионизационное равновесие лимитируется основной реакцией

 

                           .                                                  (1.2.19)

Здесь  (E-Entier (целая часть) от y), т.е. большинство частиц в системе имеет кратность ионизации  и , а средний заряд y - центр распределения Гаусса удовлетворяет неравенствам ≤ y ≤ . При высокой степени ионизации частиц n_e/n=z>>1 приближение Эйнбиндера можно распространить на всю область параметров r_p, n_p и значение y z. Причем связь между n_e – средней концентрацией электронов и средним зарядом конденсированной частицы в соответствии с (1.2.19)

 

                               (1.2.20)

где .

В случае сильной ионизации частиц , так что (1.2.20) фактически совпадает с формулой, полученной Сагденом и Тращем из решения кинетической задачи о термоэмиссии электронов с идентичных частиц с зарядом ze.

В газовой фазе могут присутствовать легкоионизующиеся атомы (обычно атомы щелочных металлов) в виде естественных добавок (плазма продуктов сгорания) или вводится дополнительно с целью повышения ионизации. Наличие ионизующихся атомов в газовой подсистеме приводит к необходимости учета сложного баланса объемных и поверхностных процессов, определяющий межфазный обмен энергией, массой, импульсом и электрическим зарядом в НТП с КДФ. При этом частицы КДФ, являясь источниками и стоками электронов, могут как повышать в плазме n_e, так и способствовать ее понижению.

 

1.3. Учет ионизации атомов легкоионизируемой присадки.

 

Основные предположения модели плазмы с макрочастицами, содержащей атомы легко ионизующихся элементов (щелочных металлов), следующие: в состоянии термодинамического равновесия температуры газа и частиц одинаковы; каждая из макрочастиц с точностью до флуктуаций сохраняет свой равновесный заряд z_e; в газовой фазе сохраняются неизменными средние концентрации атомных зарядов – электронов и ионов.

В модели Лукьянова предполагается, что равновесная система неограниченна, а “частичная” подсистема (ансамбль частиц КДФ) состоит из однородно ионизованных (имеющих один и тот же заряд q=z_e) идентичных сферических частиц радиуса r_p с работой выхода W. Связь между концентрацией электронов n_e в газовой фазе и зарядом отдельной дисперсной частицы определяется с помощью формулы Ричардсона – Дешмана [17,с.213] для плотности тока термоэлектронной эмиссии с поверхности КЧ. Этот ток уравновешивается потоком электронов прилипания, т.е. тех газовых электронов, которые за единицу времени “оседает” на частицы КДФ. В результате получаем уже известную формулу (1.2.20), в которой  заменено :

 

                     .                     (1.3.1)

 

Кроме частиц КДФ, в газовой фазе присутствуют легко ионизующиеся щелочные атомы, которые также вносят свой вклад в равновесную концентрацию электронов n_e. Пренебрегая влиянием микрополей на ионизацию атомарных частиц запишем для них формулу Саха (см. (1.1.16)): 

 

              .                               (1.3.2)

 

Учитывая более высокие степени ионизации атомов, получаем цепочку уравнений Саха. Однако для интервала температур Т=2000….3500 К вклад этих степеней пренебрежимо мал, и в систему ионизационных уравнений входит только первое – (1.3.2). Используя условия электронейтральности плазмы и закон сохранения массы для щелочной компоненты, получаем замкнутую систему термоионизационного равновесия:

 

                               (1.3.3)                                                                                                                            

Система (1.3.3) записана в принятых обозначениях и представляет собой систему ионизационных уравнений Лукьянова [18].

На рис.3 показаны расчетные зависимости концентрации электронов (рис.3.а) и заряда частиц окиси алюминия (рис.3.б) от исходного содержания щелочных атомов (атомов калия), полеченных в [18]. Линии I и 2 соответствуют размерам r_p  частиц Al₂O₃. Штриховая линия 3 определяет ионизацию в чисто газовой плазме с теми же параметрами. Она проведена для наглядности несколько выше, поскольку для n_A>10¹²cм^-3 практически сливается с линиями 1,2. Видно, что при малых концентрациях щелочных атомов (n_A<2 10⁸см^-3) частицы КДФ способствуют повышению концентрации электронов в газовой фазе по сравнению с чисто газовой системой в тех же условиях (при таких же температуре и парциальном давлении щелочных атомов).

 

 

 

При более высоких концентрациях атомов щелочной присадки оказывается деонизирующее влияние дисперсных частиц: их заряд отрицателен и они служат стоками электронов (рис.3.б). Дальнейшее повышение концентрации легко ионизующихся атомов приводит к росту n_e и его асимптотическому приближению (“снизу”) к зависимости по Саха, т.е. формулой (1.1.18). Вне зависимости от размера заряд дисперсных частиц проходит через 0 при значении n_e=n_s.

Преобразуем систему (1.3.3) к удобному для аналитического рассмотрения виду. Из первого и четвертого уравнений .Используя второе и третье уравнения (подставляем выражение для n_i в третье уравнение, из него n_e выражаем z и определяющие параметры системы K_S, n_p, n_A; подставляем это соотношение в левую часть второго уравнения), окончательно получаем

 

     (1.3.4)

 

Трансцендентное уравнение (1.3.4) относительно зарядового числа z дисперсной частицы в символическом виде запишем так:

 

                                  Ψ(z)=0                                              (1.3.5)

 

Уравнение (1.3.5) однозначно решает вопрос об ионизации частиц и газа в модели, в которой не учитываются эффекты объемного заряда, существенно влияющие на электрон-ионные процессы в плазме. Как показывают эксперименты, отрицательные заряды частиц КДФ в плазме со щелочными присадками достаточно велики (z≥10⁴), что ограничивает применимость этой модели. По характеру используемых физических допущений ее следует отнести к классу идеально-газовых моделей.