Бесселевы функции первого рода
Содержание
Задание на курсовую работу ....................................................................... 2 Замечания руководителя .............................................................................. 3 1. Бесселевы функции с любым индексом ................................................... 5 2. Формулы приведения для бесселевых функций ..................................... 10 3. Бесселевы функции с полуцелым индексом ............................................. 13 4. Интегральное представление бесселевых функций с целым индексом .. 15 5. Ряды Фурье-Бесселя ................................................................................. 18 6. Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента ...................................................................... 23 Список литературы ...................................................................................... 30 Бесселевы функции с любым индексом
Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах Чтобы объяснить происхождение бесселевых функций, рассмотрим уравнение Лапласа в пространстве: . (1) Если перейти к цилиндрическим координатам по формулам: , , , то уравнение (1) примет следующий вид: . (2) Поставим задачу: найти все такие решения уравнения, которые могут быть представлены в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит только от одного аргумента, то есть найти все решения вида: , где , , предполагаются дважды непрерывно дифференцируемыми. Пусть есть решение упомянутого вида. Подставляя его в (2), получим: , откуда (после деления на ) . Записав это в виде: , найдем, что левая часть не зависит от , правая не зависит от , ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда: ; ; ; ; . В последнем равенстве левая часть не зависит от , правая не зависит от ; следовательно, общая величина этих выражений есть некоторая постоянная . Отсюда: , ; , . Таким образом, , , должны удовлетворять линейным дифференциальным уравнениям второго порядка: , (3) , , из которых второе и третье есть простейшие линейные уравнения с постоянными коэффициентами, а первое является линейным уравнением с переменными коэффициентами нового вида. Обратно, если , , удовлетворяют уравнениям (3), то есть решение уравнения (2). В самом деле, подставляя в левую часть (2) и деля затем на , получим: . Таким образом, общий вид всех трех решений уравнения (2), которые являются произведением трех функций, каждая из которых зависит от одного аргумента, есть , где , , – любые решения уравнений (3) при любом выборе чисел , . Первое из уравнений (3) в случае , называется уравнением Бесселя. Полагая в этом случае , обозначая независимую переменную буквой (вместо ), а неизвестную функцию – буквой (вместо ), найдем, что уравнение Бесселя имеет вид: . (4) Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка с переменными коэффициентами играет большую роль в приложениях математики. Функции, ему удовлетворяющие, называются бесселевыми, или цилиндрическими, функциями.
Бесселевы функции первого рода Будем искать решение уравнения Бесселя (4) в виде ряда: . Тогда , , , . Следовательно, приходим к требованию или к бесконечной системе уравнений , которая распадается на две системы:
Первая из них удовлетворится, если взять … Во второй системе можно взять произвольно; тогда … однозначно определяются (если не является целым отрицательным числом). Взяв , найдем последовательно: , , , и в качестве решения уравнения (4) получим ряд: Этот ряд, формально удовлетворяющий уравнению (4), сходится для всех положительных значений и, следовательно, является решением уравнения (4) в области (в случае целого в области ). Функция (5) называется бесселевой функцией первого рода с индексом . Она является одним из решений уравнения Бесселя (4). В случае целого неотрицательного индекса получим: , (5`) и, в частности, . (5``)
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (176)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |