Асимптотическое представление бесселевых функций с целым индексом для больших значений аргумента
Пусть - положительная функция и - какая-нибудь (вообще комплекснозначная) функция, определенные для достаточно больших значений . Запись при означает, что найдутся такие числа и M, что при имеем . Подобная запись употребляется и в других аналогичных случаях. Например, если - положительная функция и - какая-нибудь функция, определенные для достаточно малых положительных значений , то запись при означает, что найдутся такие числа и , что на . Вспомогательная лемма Если дважды непрерывно дифференцируема на , то для функции имеет место асимптотическое представление при . Докажем эту лемму. Заменяя на , получим: . (26) Рассмотрим интеграл, фигурирующий в первом слагаемом правой части формулы (20). Заменяя на , найдем: , но, заменив на , получим: . Если положительна, убывает и стремиться к нулю при , то и , а следовательно, и есть при , поэтому при , откуда при . Итак, получаем асимптотическое представление: при . (27) Рассмотрим теперь интеграл, фигурирующий во втором слагаемом правой части формулы (20). Имеем: , . Очевидно, дважды непрерывно дифференцируема на , но существуют и , поэтому становится непрерывно дифференцируема на . Интегрирование по частям дает: , где первое слагаемое правой части есть при , а интеграл во втором слагаемом несобственный при нижнем пределе мажорируется интегралом , который сходится, так как при ; следовательно, второе слагаемое есть тоже при . Итак, имеем: при . (28) Из (26), (27), (28) получаем искомое асимптотическое представление: при . (29) Из этой формулы, переходя к сопряженным величинам, найдем еще: при . (29`) Формулы (29) и (29`) верны и для комплекснозначных функций . Вывод асимптотической формулы для Jn(x) Заменяя на , получим:
(учитывая, что есть четная функция от , а есть нечетная функция от ). Подстановка дает: , где есть, очевидно, полином n-й степени (полином Чебышева), так как из формулы Муавра видно, что есть полином n-й степени относительно . Но и, заменяя в первом из этих интегралов на , получим: Так как и на имеют производные всех порядков, то к двум последним интегралам применимы формулы (29) и (29`), и мы получаем: ; но ; , следовательно, . Итак, имеем искомое асимптотическое представление бесселевой функции первого рода с целым индексом для больших значений аргумента: при . (30) Эта формула показывает, что с точностью до слагаемого порядка является затухающей гармоникой с волной постоянной длины и амплитудой, убывающей обратно пропорционально квадратному корню из абсциссы. В частности, при ; (30`) при . (30``) Графики этих функций изображены ни рисунках 1 и 2. Рассмотрим несколько примеров решения уравнения Бесселя.
1. Найти решение уравнения Бесселя при , удовлетворяющее начальным условиям при , и . Решение. На основании формулы (5`) находим одно частное решение:
.
2. Найти одно из решений уравнения: , . Решение. Сделаем замену . При получим: . При будем искать решение в виде обобщенного степенного ряда: . Уравнение на имеет вид ; , , , , поэтому , , .
Рисунок 1 – График функции y=J0(x)
Рисунок 2 – График функции y=J1(x) Список литературы
1. Пискунов Н. С. «Дифференциальное и интегральное исчисления», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1985г., 560 стр. 2. Романовский П. И. «Ряды Фурье. Теория поля. Аналитические и специальные функции. Преобразование Лапласа», учебное пособие для втузов, М: Наука, 1983г., 336 стр.
Популярное: Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (190)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |