Производящая функция системы функций

Рассмотрим систему  функций  (с любой общей областью определения), пронумерованных с помощью всех целых чисел:

Составим ряд

,

где  – комплексная переменная. Предположим, что при каждом  (принадлежащем области определения рассматриваемых функций) этот ряд имеет кольцо сходимости, содержащее внутри себя единичную окружность . В частности, это кольцо может представлять собой полную плоскость комплексной переменной без точек 0 и ∞.

Функция

                                                                                (16)

(где x лежит в области определения функций системы ,  – внутри кольца сходимости, соответствующего рассматриваемому значению ) называется производящей функцией системы .

Обратно, пусть задана функция , где  пробегает некоторое множество,  находится внутри некоторого кольца, зависящего от , с центром 0 и содержащего внутри себя единичную окружность. Тогда, если  при каждом  аналитична относительно  внутри соответствующего кольца, то  есть производящая функция некоторой системы  функций. В самом деле, разложив при каждом  функцию  в ряд Лорана по степеням :

,

найдем, что система коэффициентов  этого ряда будет искомой системой .

Формулы для коэффициентов ряда Лорана позволяют выразить функции  рассматриваемой системы через производящую функцию. Применяя эти формулы и преобразовывая затем интеграл вдоль единичной окружности  в простой интеграл, получим:

.                             (17)

Производящая функция системы бесселевых функций с целыми индексами

Покажем, что для системы бесселевых функций первого рода с целыми индексами  ( …) производящая функция есть:

.

Имеем:

,   ,

откуда после почленного перемножения этих равенств найдем:

(так как в предпоследней внутренней сумме  и  были связаны зависимостью , то мы могли положить , получив суммирование по одному индексу ). В последней внутренней сумме суммирование производится по всем целым , для которых , следовательно, при  это будет ; при  это будет . Таким образом, во всех случаях внутренняя сумма есть  в силу формул (5`) и (5```). Итак,

,                                                                         (18)

но это и доказывает, что  есть производящая функция для системы .

Выведем некоторые следствия из формулы (18). Полагая в ней , получим:

,

откуда после разделения действительной и мнимой части (учитывая, что )

      (18`)

                 (18``)

Заменяя в (18`) и (18``)  на , найдем:

,                        (18```)

.                            (18````)

Интегральное представление J_n(x)

Так как, по доказанному, при  имеем , то по формуле (17) получаем (используя в преобразованиях формулы Эйлера):

где принято во внимание, что  есть четная функция от  есть нечетная функция от . Итак, доказано, что для любого целого числа

.                                                         (19)

Формула (19) дает представление бесселевых функций с целым индексом в виде определенного интеграла, зависящего от параметра . Эта формула называется интегральным представлением Бесселя для , правая часть формулы называется интегралом Бесселя. В частности, при  найдем:

.                                                                 (19`)

Ряды Фурье-Бесселя

 

Рассмотрим на каком-либо интервале  (конечном или бесконечном) два дифференциальных уравнения

,                      ,                                 (20)

где  и  – непрерывные функции на . Пусть  и  – ненулевые решения этих уравнений. Умножение на  и на  и последующее вычитание дают

.

Пусть  и  принадлежат  и , тогда после интегрирования в пределах от  до  получим

.                                            (21)

Если  и  – соседние нули решения , то между  и  сохраняет постоянный знак, пусть, например,  на ( , ) (в противном случае следует заменить  на ), тогда ,  (равенство нулю исключено, так как  – ненулевое решение дифференциального уравнения второго порядка). Если на , то  должна, по крайней мере, раз обращаться в нуль между  и , так как иначе  сохранит постоянный знак на ( , ). Пусть, например,  на ( , ) (в противном случае заменяем  на ), и тогда из (21) получим противоречие, ибо левая часть ≤0, а правая >0. Таким образом доказана теорема сравнения Штурма: если P(x)<Q(x) на рассматриваемом интервале I и если y и z – ненулевые решения уравнений (20), то между каждыми двумя соседними нулями y(x) находится по крайней мере один нуль z(x).

Из теоремы сравнения Штурма вытекают нижеследующие следствия. Если  на , то каждое ненулевое решение уравнения  может иметь на  не более одного нуля (это легко видеть, если положить  и взять ). Если  на  (где ), то для всяких двух соседних нулей  и  ( ) каждого ненулевого решения уравнения  имеем  (это легко видеть, если положить , взять  и заметить, что нулями  будут только числа вида ,  целое). Если  на  (где ), то для всяких двух соседних нулей каждого ненулевого решения уравнения  имеем  (это легко видеть, если положить  и взять ). Из сказанного следует, что если  на , то для всяких двух соседних нулей  и  ( ) каждого ненулевого решения уравнения  имеем .

Изложенное показывает, что если  непрерывна на  и превышает некоторое положительное число вблизи +∞, то каждое ненулевое решение  уравнения имеет на  бесконечно много нулей. Если еще  вблизи  не обращается в нуль, то эти нули образуют бесконечную возрастающую последовательность , имеющую пределом +∞, а если, кроме того, , где , то .

Рассмотрим уравнение Бесселя

на интервале . Подстановка  приводит к уравнению

.

Очевидно,  и  имеют одни и те же нули. Так как , где  – целая функция, то  не имеет нулей на  при достаточно малом , и так как  при , то при каждом  нули  на  образуют бесконечную возрастающую последовательность

причем .

Если , то  удовлетворит уравнению

на интервале (0, +∞). Подстановка  приводит к уравнению

и, следовательно,  удовлетворяет этому уравнению. Таким образом, при любых положительных  и  имеем

, где ,

, где ,

откуда

,

следовательно,

, где .                                   (22)

Пусть теперь . Разложение  по степеням  начинается с члена, содержащего , разложение  по степеням  начинается с члена, содержащего , так как коэффициент при  равен нулю, что легко видеть, исходя из формулы (5). Следовательно, из (22) при  получим

,

то есть

,           (23)

откуда видно, что если  и  являются разными нулями функции , то

.                                                                   (23`)

Этим доказано, что при  система функций

на интервале  является ортогональной относительно веса .

Переходя к пределу при  в соотношении

и используя правило Лопиталя, получим при всяком

,                  (24)

следовательно, если  является нулем функции , то

.                                                              (24`)

Таким образом, при каждом  всякой непрерывной функции  на , удовлетворяющей требованию

,

поставлен в соответствие ряд Фурье-Бесселя

,                                                                         (25)

коэффициенты которого определяются формулами

.                                                     (25`)

Можно доказать, что система функций  на , ортогональная относительно веса , замкнутая. В частности, если ряд Фурье-Бесселя (25) равномерно сходится к порождающей его непрерывной функции .

Можно показать, что если  и  непрерывная на  и кусочно-гладкая на  функция, то ряд Фурье-Бесселя этой функции сходится к ней при .