Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Билет №1

Делители и кратные. Признаки делимости на 10, на 5, на 2, на 9 и на 3.

Четные и нечетные цифры. Приведите примеры

1. Делителем натурального числа a называют натуральное число, на которое a делится без остатка.

Пример. Делители числа 15: 1; 3; 5; 15 – 4 делителя.

       Делители числа 24: 1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24 – 8 делителей.

Число 1 является делителем любого натурального числа.

2. Кратным натурального числа а называют натуральное число, которое делится без остатка на а. Любое натуральное число имеет бесконечно много кратных.

Пример. Кратные числа 5: 5; 15; 20; 25 и т.д.

       Кратные числа 7: 7; 14; 21; 28 и т.д.

Наименьшим из кратных натурального числа является само число.

3. Если запись числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.

Пример. 210, 3900, 50 и т.д. – делятся на 10;   33; 357; 6789 – не делятся на 10.

4. Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.

Пример. 15; 50; 565; 5780 – делятся на 5;       

5. Числа, делящиеся без остатка на 2, называют четными, а числа, которые при делении на 2 дают остаток 1, называют нечетными. Цифры 0; 2; 4; 6; 8 – четные цифры, а 1; 3; 5; 7; 9 – нечетные цифры.

6. Если запись натурального числа оканчивается чётной цифрой, то это число чётно (делится без остатка на 2), а если запись числа оканчивается нечётной цифрой, то это число нечётно.

Пример. Числа 24, 68, 148, 4586 – делятся на 2.

7. Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.

Пример. Число 76455 делится на 9, т.к. 7+6+4+5+5=27 – делится на 9

          Число 51634 не делится на 9, т.к. 5+1+6+3+4=19 не делится на 9

8. Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3,то и число не делится на 3.

Пример. Число 76455 делится на 3, т.к. 7+6+4+5+5=27 – делится на 3

    Число 51634 не делится на 3, т.к. 5+1+6+3+4=19 не делится на 3

Билет № 2

Простые и составные числа. Разложение на простые множители. Приведите пример разложения составного числа на множители

1. Натуральное число называют простым, если оно имеет только два делителя: единицу и само это число.

Пример. 2, 3, 5, 7, 11 и т. д. – простые числа.

2. Натуральное число называют составным, если оно имеет более двух делителей.

Пример. 4, 6, 8, 9 и т. д. – составные числа.

3. Число 1 имеет только один делитель: само это число. Поэтому его не относят ни к составным, ни к простым числам.

4. Всякое составное число можно разложить на простые множители.

210

5

7

10

2

3

21

 

 

При разложении чисел на простые множители используют признаки делимости

756	2
378	2
189	3
63	3
21 7 1	3 7

Билет № 3

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа. Алгоритм нахождения наибольшего общего делителя нескольких натуральных чисел.

Приведите пример

1. Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.

Пример: делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

           делители числа 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32

      общие делители чисел 24 и 32 будут: 1, 2, 4, 8

           наибольший общий делитель чисел 24 и 32 – 8, т.е. НОД (24;32)=8

2. Натуральные числа называют взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1.

Пример: делители числа 24: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

          делители числа 35: 1, 5, 7, 35

Числа 24 и 35 – взаимно простые

3. Наибольший общий делитель можно найти, не выписывая всех делителей данных чисел.

Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:

 1) разложить их на простые множители;

 2) выпишите общие простые множители;

 3) найти произведение полученных простых множителей.

Пример:

НОД (24; 60) =

24 2                  60 2

12 2                  30 2

6 2                  15 3

3 3                  5 5

Если все данные числа делятся на одно из них, то это число и является наибольшим общим делителем данных чисел.

Пример: 15, 45, 75 и 180

НОД (15; 45; 75 и 180)=15

 

Билет № 4