Определение интеграла Лебега

Классическое определение интеграла, данное О. Коши и разви­тое Б. Риманом, состоит, как известно, в следующем: рассматри­вается конечная функция f( x), заданная на сегменте [ a, b]; этот сегмент разбивается на части точками

x₀ = a < x₁ < x₂ < ¼ < x_n = b

в каждой части [ x_k, x_k+1]  выбирается точка x _k и составляется риманова сумма

s = .

Если сумма s при стремлении к нулю числа

l = max(x_k+1 – x_k).

стремится к конечному пределу I, не зависящему ни от способа дробления [ a, b], ни от выбора точек x _k, то этот предел I назы­вается интегралом Римана функции f( x) и обозначается символом

.

Иногда, желая подчеркнуть, что речь идет именно о римановом интеграле, пишут

( R) .

Функции, для которых интеграл Римана существует, называются интегрируемыми в смысле Римана или, короче, интегрируемыми ( R). Для интегрируемости (R) функции f( x) необходимо, чтобы она была ограниченной.

Еще Коши установил, что всякая непрерывная функция интегри­руема (R). Существуют также и разрывные функции, интегрируе­мые (R). В частности, такова любая разрывная монотонная функция.

Легко построить, однако, ограниченную функцию, которая не будет интегрируемой (R). Рассмотрим, например, функцию Ди­рихле , которая определяется на сегменте [0, 1] следующим образом

                         

           1, если x рационально,  

y( x) =

           0, если x иррационально.

 

Легко видеть, что эта функция не интегрируема (R), ибо сумма s обращается в 0, если все точки x  иррациональны и s = 1, если все  рациональны.

Таким образом, риманово определение интеграла страдает суще­ственными недостатками - даже очень простые функции оказываются неинтегрируемыми.

Нетрудно разобраться в причинах этого обстоятельства.

Дело заключается в следующем: при составлении сумм Римана s, мы дробим сегмент [ a, b] на мелкие части [ x₀, x₁], [ x₁, x₂], ¼ ,[ x_n-1, x_n]  (назовем их через e₀, e₁, ¼ , e_n-1), в каждой части e_k берем точку x _k и, составив сумму

s = ,

требуем, чтобы она имела предел, не зависящий от выбора точек x _k в множествах е _k. Иначе говоря, каждая точка х из множества е _k может быть взята за x _k, а варьирование этой точки не должно заметно влиять на значение суммы s. А это возможно лишь в том случае, когда варьирование точки x _k мало изменяет величину f( x _k). Но что же объединяет между собой различные точки х множества e_k? Их объединяет то, что они близки друг другу, ибо е _k есть малый сегмент [ x_k, x_k+1].

Если функция f( x) непрерывна, то достаточная близость абсцисс х влечет за собой и близость соответствующих значений функции и мы вправе ждать, что изменение точки x _k в пределах множества e_k мало влияет на величину суммы s, но для функция разрывной это вовсе не так.

Иначе можно сказать, что множества e_k составлены так, что только для непрерывных функций значение f( x _k) можно считать нор­мальным представителем других значений функции на e_k.

Таким образом, самое определение риманова интеграла можно считать вполне оправданным лишь для функций непрерывных, для прочих же функций оно выглядит довольно случайным. Ниже мы убедимся, что для интегрируемости ( R) необходимо, чтобы рас­сматриваемая функция не была «слишком разрывной».

Желая обобщить понятие интеграла на более широкие классы функций, Лебег предложил другой процесс интегрирования, в котором точки x объединяются в множества e_k не по случайному признаку своей близости на оси Ох, а по признаку достаточной близости соответствующих значений функции. С этой целью Лебег разбивает на части не сегмент [ a, b], расположенный на оси абсцисс, а сег­мент [А, В], лежащий на оси ординат и включающий все значения функции f( x):

A = y_o < y₁ < ¼ < y_n = B

Если составить множества e_k так:

e_k = E(y_k £ f < y_k+1),

то ясно, что различный точкам х Î е _k и в самом деле отвечают близкие значения функции, хотя, в отличие от римановского процесса, сами точки x могут быть весьма далеки друг от друга.

В частности, хорошим представителем значений функции на мно­жестве e_k может служить, например, y_k, так что естественно поло­жить в основу понятия интеграла сумму

.

Перейдем теперь к точному изложению вопроса.

Пусть на измеримом множестве E задана измеримая ограниченная функция f( x), причем

A<f(x)<B.                                                                                                                                 (1)

Разобьем сегмент [А, В] на части точками

y_o = A < y₁ < y₂ < ¼ < y_n = B

и соотнесем каждому полусегменту [у _k , у _k+1) множество

e_k = E(y_k £ f < y_k+1)

Легко проверить четыре свойства множеств e_k:

1) Множества e_k попарно не пересекаются: e_ke_{k ¢}  = 0 ( k ¹ k').

2) Эти множества измеримы.

3) E =

4) тЕ =

Введем теперь нижнюю и верхнюю суммы Лебега s и S:

S =      S =

Если мы положим

l = max (y_k+1 – y_k),

то будем иметь

0 £ S – s £ l mE.                                                                                                                       (2)

Основное свойство сумм Лебега выражает

Лемма. Пусть некоторому способу дробления сегмента [А, В] отвечают суммы Лебега s₀ и S₀. Если ми добавим новую точку дробления  и снова найдем суммы Лебега s и S, то окажется

s₀ £ s, S £ S₀.

Иначе говоря, от добавления новых точек деления нижняя сумма не уменьшается, а верхняя не увеличивается.

Доказательство. Допустим, что

y_i < < y_i+1.                                                                                                                              (3)

Тогда при k ¹ i полусегменты [ y_k, у _k+1), а с ними и множества e_k, фигурируют и в новом способе дробления. Полусегмент же [ y_i, y_i+1) при переходе к новому способу заменяется двумя полусегментами

[ y_i, ), [ , y_i+1),

в связи с чем и множество e_i разбивается на два множества

= E(y_i £ f < ), = E( £ f < y_i+1).

Очевидно, что

e_i =  + ,  = 0,

так что

me_i = m  + m .                                                                                                                    (4)

Из сказанного ясно, что сумма s получается из суммы s₀ заменой слагаемого y_ime_i двумя слагаемыми y_im  + m , откуда, в связи с (3) и с (4), и следует, что s ³ s₀.

Для верхних сумм рассуждение аналогично.

Следствие. Ни одна нижняя сумма s не больше ни одной верхней суммы S.

Доказательство. Рассмотрим два каких-нибудь способа дробления I и II, сегмента [А, В]. Пусть этим способам отвечают соответственно нижние суммы s₁ и s₂ и верхние суммы S₁ и S₂.

Составим третий способ дробления [А, В] - способ III, в котором точками деления служат точки деления обоих способов I и II. Если способу III отвечают суммы s₃ и S₃, то, в силу леммы, s₁ £ s₃, S₃ £ S₂, откуда, в связи с тем, что s₃ £ S₃, ясно, что s₁ £ S₂, а это и тре­бовалось доказать.

Выберем какую-нибудь определенную верхнюю сумму S₀. Так как для всякой нижней суммы s будет s £ S₀, то множество { s} всех нижних сумм Лебега оказывается ограниченный сверху. Пусть U есть его точная верхняя граница U = sup{ s}.

Тогда, ясно, что

U £ S₀.

Ввиду произвольности суммы S₀, последнее неравенство доказы­вает, что множество { S} всех верхних сумм Лебега ограничено снизу. Назовем через V его точную нижнюю границу

V = inf{ S}.

 Очевидно, при любом способе дробления будет

S £ U £ V £ S.

Но, как мы отмечали, S – s £ l mE, откуда

0 £ V – U £ l mE

и, так как l произвольно мало, то

U = V.

Определение. Общее значение чисел U и V называется инте­гралом Лебега функции f( x) по множеству Е и обозначается символом

( L)

В тех случаях, когда смешение с другими видами интеграла исключено, пишут просто

В частности, если Е есть сегмент [а, b], употребляют символы

( L)

Из сказанного выше следует, что каждая измеримая ограни­ченная функция интегрируема в смысле Лебега, или, короче, инте­грируема ( L). Уже из этого замечания видно, что процесс интегри­рования ( L) приложим к гораздо более широкому классу функций, чем процесс интегрирования ( R). В частности, совершенно отпадают все вопросы, связанные с признаками интегрируемости, которые для интегралов ( R) имеют сравнительно сложный характер.

Теорема 1. Если l ® 0, то суммы Лебега s и S стремятся

к интегралу

Теорема непосредственно вытекает из неравенств

S £ £ S, S – s £ l × mE.

Из этой теоремы, между прочим, следует, что значение инте­грала Лебега, которое в силу самого определения его связано с числами А и В, насамом деле от них не зависит.

Действительно, допустим, что

A < f( x) < В, A < f( x) < B*,

причем В* < В. Раздробим сегмент [А, В] на части

A = у₀ < у₁ < ¼ < y_n = В,

причем включим и точку В* в число точек деления В* = у_т.

Если мы составим множества e_k, то легко убедиться, что

e_k = 0 (k ³ m).

Значит,

s = = = s*,

где s* есть нижняя сумма Лебега, построенная, исходя из сег­мента [А, В*]. Сгущая точки дробления и переходя к пределу, най­дем, что

I = I*,

где I и I* суть значения интегралов Лебега, отвечающие сегмен­там [А, В] и [А, В*]. Таким образом, изменение числа В не отра­жается на величине интеграла. То же относится и к числу А. Этот факт весьма существенен, ибо только теперь определение интеграла оказывается освобожденным от случайного характера выбора то­чек А и В.