Сравнение интегралов Римана и Лебега
Пусть на сегменте [а, b] задана (не обязательно конечная) функция f(х). Пусть x0 Î [ a, b] и d > 0. Обозначим через m d( x0) и М d(х0) соответственно точную нижнюю и точную верхнюю границы функции f( x) наинтервале (х0 - d, x0 + d) m d( x0) = inf{ f( x)}, M d( x0) = sup{ f( x)} (х0 - d < x < x0 + d). (Само собою разумеется, что мы принимаем во внимание лишь те точки интервала (х0 - d, x0 + d), которые лежат также и на сегменте [а, b].) Очевидно, m d( x0) £ f( x0) £ M d( x0). Если d уменьшается, то m d( x0) не убывает, a M d( x0) не возрастает. Поэтому существуют определенные пределы m( x0) = m d( x0), M d( x0) = M d( x0), причем, очевидно, m d( x0) £ m( x0) £ f( x0) £ M( x0) £ M d( x0). Определение. Функции т(х) и М(х) называются соответственно нижней и верхней функциями Бэра для функции f( x). Теорема 1 (Р. Бэр). Пусть функция f(х) конечна в точке х0. Для того чтобы f( x) была в этой точке непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы было m( x0) = M( x0). (*) Доказательство. Допустим, что функция f(х) непрерывна в точке x0. Взяв произвольное e > 0, найдем такое d > 0, что как только < d, так сейчас же < e. Иначе говоря, для всех х Î (х0 - d, x0 + d) будет f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e . Но отсюда следует, что f(x0) - e £ m d (x0) £ M d (x0) £ f(x0) + e , а стало быть, и тем более f(x0) - e £ m(x0) £ M(x0) £ f(x0) + e , откуда, ввиду произвольности e, и вытекает (*). Итак, необходимость условия (*) доказана. Пусть теперь, обратно, дано, что (*) выполнено. Тогда, очевидно, m( x0) = M( x0) = f( x0) и общее значение функций Бэра в точке x0 конечно. Возьмем произвольное e > 0 и найдем столь малое d > 0, что m( x0) - e < m d( x0) £ m( x0), M( x0) £ M d( x0) < M( x0) + e. Эти неравенства означают, что f(x0) - e < m d (x0), M d (x0) < f(x0) + e . Если теперь x Î (х0 - d, x0 + d), то f( x) лежит между m d( x0) и M d( x0), так что f(x0) - e < f(x) < f(x0) + e . Иначе говоря, из того, что < d вытекает, что < e, т. е. функция f( x) непрерывна в точке х0. Основная лемма. Рассмотрим последовательность дроблений сегмента [а, b] a = < < ¼ < = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a = < < ¼ < = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . причем при i ® ¥ l i = max[ - ] ® 0. Пусть есть точная нижняя граница значений функции f( x) на сегменте [ , ]. Введем функцию j i( x), полагая j i( x) = при x Î ( , ) j i( x) = 0 при x = , , ¼ , . Если х0 не совпадает ни с одной точкой ( I = 1, 2, 3, ¼ ; k = 0, 1, 2, ¼ , ni), то j i (x0) = m(x0). Доказательство. Фиксируем какое-нибудь i и назовем через [ , ] тот из сегментов i-го способа дробления, который содержит точку х0. Так как х0 не совпадает ни с одной из точек деления, то < x0 < и, следовательно, при достаточно малых d > 0 будет (х0 - d, x0 + d) Ì [ , ], откуда следует, что £ m d( x0) или, что то же самое, что j i (x0) £ m d (x0). Устремив d к нулю и перейдя к пределу, находим, что при любом i j i (x0) £ m(x0). Этим самым лемма уже доказана для случая т(х0) = - ¥. Пусть т(х0) > - ¥ и пусть h < m(x0). Тогда найдется такое d > 0, что m d( x0) > h. Фиксировав это d, найдем столь большое i0, что при i > i0 будет [ , ] Ì (х0 - d, x0 + d), где, как и выше, [ , ] есть сегмент, содержащий точку х0. Существование такого i0 следует из условия l i ® 0. Для таких i будет ³ m d (x0) > h, или, что то же самое, j i (x0) > h. Итак, для всякого h < m( x0) найдется такое i0, что при i > i0 h < j i (x0) £ m(x0), а это и значит, что j i( x0) ® m( x0). Лемма доказана. Следствие 1. Функции Бэра т(х) и М(х) измеримы. В самом деле, множество точек деления { } счетно и, стало быть, имеет меру нуль. Поэтому лемма означает, что j i( x) ® m( x) почти везде. Но j i( x) измерима, ибо это ступенчатая функция, значит измерима я функция т( x). Для верхней функции Бэра М(х) рассуждение аналогично. Следствие 2. Если в условиях леммы исходная функция f( x) ограничена, то ( L) ® ( L) . Действительно, если £ K, то, очевидно, £ K, £ K, откуда прежде всего следует, что эти функции интегрируемы ( L), после чего остается сослаться на теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла. Перефразируем теперь следствие 2. Для этого заметим, что ( L) = = = si, где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-му способу дробления. Таким образом, следствие 2 означает, что при i ® ¥ si ® ( L) . Аналогично можно установить, что верхняя сумма Дарбу Si при возрастании i стремится к интегралу от верхней функции Бэра Si ® ( L) . Но в таком случае Si - si ® (L) . С другой стороны, в курсе Анализа устанавливается, что для того, чтобы ограниченная функция f( x) была интегрируема ( R), необходимо и достаточно, чтобы было Si – si ® 0. Сопоставляя это со сказанным выше, мы видим, что для интегрируемости ( R) функции f( x) необходимо и достаточно, чтобы было ( L) = 0. (1) Условие (1) во всяком случае выполнено, если разность М(х) - т(х) эквивалентна нулю, но так как эта разность неотрицательна, то и обратно из (1) следует, что т(х) ~ М(х). (2) Итак, интегрируемость ( R) ограниченной функции f( x) равносильна соотношению (2). Сопоставив этот результат с теоремой 1, получаем следующую теорему. Теорема 2 (А. Лебег). Для того чтобы ограниченная функция f( x) была интегрируема (R),необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна почти везде. Эта замечательная теорема представляет собой наиболее простой и ясный признак интегрируемости ( R). В частности, она оправдывает сделанное в пункте 2 замечание, что интегрируемыми ( R) могут быть только «не очень разрывные» функции. Допустим теперь, что функция f( x) интегрируема ( R). Тогда она необходимо ограничена и почти везде будет т(х) = М(х). Но ведь т(х) £ f( x) £ М(х). Значит, почти везде f( x) = m( x), и f( x), будучи эквивалентна измеримой функции т(х), измерима сама. Так как всякая ограниченная измеримая функция интегрируема ( L), то такова же и f( x), т. е. из интегрируемости какой-нибудь функции в смысле Римана вытекает ее интегрируемость в смысле Лебега. Наконец, из эквивалентности функций f( x) и т(х) следует, что ( L) = ( L) . Но, как известно из курса Анализа, в условиях основной леммы для интегрируемой ( R) функции f( x) будет si ® ( R) , где si есть нижняя сумма Дарбу, отвечающая i-муспособу дробления. Сопоставляя это с тем, что, как показано нами, si ® ( L) , мы видим, что ( R) = ( L) . Таким образом, имеет место Теорема 3. Всякая функция, интегрируемая ( R), необходимо интегрируема и ( L), и оба ее интеграла равны между собой. В заключение отметим, что функция Дирихле y( x) (равная нулю в иррациональных и единице в рациональных точках) интегрируема ( L) (ибо она эквивалентна нулю), но, как мы видели в пункте 2, не интегрируема ( R), так что теорема 3 не обратима.
Примеры 1) Вычислить интеграл Лебега от функции на интервале (1; 2). Строим срезку
N, f( x) ³ N, fN(x) = f(x), f(x) < N. = N, x = 1 + . = , = + = Nx + = N - N + - - = + - = - + , = = , ( L) = . 2) Суммируемы ли функции и на интервале (0; 1). f( x) = . Строим срезку = N, x = . = + = + = 1 - = 1 + , = = (1 + ) = + ¥, значит функция f( x) = суммируемой не является. f( x) = . Строим срезку = N, x = . = + = - = - (1 - ) = - 1 + = = 2 - 1, = = (2 - 1) = + ¥, значит функция f( x) = суммируемой не является. 3) Суммируема ли функция f( x) = на отрезке [-1; 1], где f(0) = 0. , x > 0 0 , x ³ 0 = = 0 , x £ 0 , x < 0 = - .
Строим срезку N = , x = .
( L) = = = = = = = + ¥. Строим срезку N = , x = .
(L) = = = = = = = + ¥, значит функция f( x) = не является суммируемой на [-1 ;1]. 4) Суммируема ли функция f( x) = на [1; 3], где f(2) = 1. , x > 2 0, x ³ 2 = 0, x < 2 = 1, x = 2 , x < 2 Строим срезку = N, x = 2 + .
(L) = = = = = = = = = . Строим срезку = N, x = 2 - . ( L) = = = = = функция f( x) суммируема на [1; 3]. Литература 1) Колмогоров, Фомин «Элементы функционального анализа».
2) Натансон И. П. «Теория функций вещественной переменной», С-П, 1999.
3) Очан «Сборник задач по математическому анализу».
Популярное: Как выбрать специалиста по управлению гостиницей: Понятно, что управление гостиницей невозможно без специальных знаний. Соответственно, важна квалификация... Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (273)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |