Основные свойства интеграла
В этом параграфе мы установим ряд свойств интеграла от ограниченной измеримой функции. Теорема 1. Если измеримая функция f( x) на измеримом множестве Е удовлетворяет неравенствам a £ f( x) £ b, то a × mE £ £ b × mE. Это теорема обычно называется теоремой о среднем. Доказательство. Пусть n натуральное число. Если мы положим A = a - , B = b + , то окажется, что A < f( x) < B, и суммы Лебега можно будет составлять, дробя сегмент [А, В]. Но еслиA £ yk £ B, то, очевидно, A £ £ B или, что то же самое, A × mE £ s £ B × mE, откуда и в пределе mE £ £ mE. В силу произвольности числа n, теорема доказана. Из этой теоремы вытекает несколько простых следствий. Следствие 1. Если функция f( x) постоянна на измеримом множестве Е и f( x) = с, то = c × mE. Следствие 2. Если функция f( x) не отрицательна (не положительна), то таков же и ее интеграл. Следствие 3. Если тЕ = 0, то для любой ограниченной функции f( x), заданной на множестве Е, будет = 0. Теорема 2. Пусть на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f( x). Если множество Е есть сумма конечного числа или счетного множества попарно не пересекающихся измеримых множеств E = (Ek = 0, k ¹ k’), то = Свойство интеграла, выражаемое этой теоремой, называется его полной аддитивностью. Доказательство. Рассмотрим сначала простейший случай, когда число слагаемых равно двум Е = + ( = 0). Если на множестве Е A < f(x) < B и мы, раздробив сегмент [А, В] точками у0, y1, ¼ , у n, составим множества ek = E(yk £ f < yk+1), ek’= E’(yk £ f < yk+1), ek’’= E’’(yk £ f < yk+1), то, очевидно, будем иметь ek = ek’ + ek’’ (ek’ek’’ = 0), откуда = + н в пределе, при l ® 0, = + Итак, теорема доказана для случая двух слагаемых множеств. Пользуясь методом математической индукции, мы легко распространим теорему на случай любого конечного числа слагаемых множеств. Остается рассмотреть случай, когда E = . В этом случае = mE, так что при n ® ¥ будет ® 0. (*) Заметив это, положим = Rn. Так как для конечного числа слагаемых множеств теорема уже доказана, то = + . В силу теоремы о среднем A × mRn £ £ B × mRn, а в силу (*) мера mRn множества Rn стремится к нулю с возрастанием n, откуда ясно, что ® 0. Но это и означает, что = Из этой теоремы вытекает ряд следствий. Следствие 1. Если измеримые ограниченные функции f( x) и g( x), заданные на множестве Е, эквивалентны между собой, то = . Действительно, если А = Е( f ¹ g), B = E( f = g), то mA = 0 и = = 0. На множестве же В обе функции тождественны и = . Остается сложить это равенство с предыдущим. В частности, интеграл от функции, эквивалентной нулю, равен нулю. Само собою разумеется, что последнее утверждение необратимо. Например, если f( x) задана на сегменте [-1, +1], так:
1 при x ³ 0, f( x) = -1 при x < 0,
то = + = -1 + 1 = 0, хотя функция f( x) и не эквивалентна нулю. Однако справедливо Следствие 2. Если интеграл от неотрицательной измеримой ограниченной функции f( x) равен нулю ( f( x) ³ 0), то эта функция эквивалентна нулю. В самом деле, легко видеть, что E( f >0) = . Если бы f( x) не была эквивалентна нулю, то необходимо нашлось бы такое n0, что mE = s > 0. Полагая A = E , B = B - A, мы имели бы, что ³ s, ³ 0, и, складывая эти неравенства, мы получили бы ³ s, что противоречит условию. Теорема 3. Если на измеримом множестве Q заданы две измеримые ограниченные функции f( x) и F( x), то = + . Теорема 4. Если на измеримом множестве Е задана измеримая ограниченная функция f( x) и с есть конечная постоянная, то = c . Следствие. Если f( x) и F(х) измеримы и ограничены на множестве Е, то = - . Теорема 5. Пусть f( x) и F(х) измеримы и ограничены на измеримом множестве Е. Если f(x) £ F(x), то £ . Действительно, функция F( x)— f( x) не отрицательна, так что - = ³ 0. Теорема 6. Если функция f( x) измерима и ограничена на измеримом множестве E, то £
Популярное: Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (187)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |