Приложения в теории рядов Фурье
Во введении мы уже определили понятие ряда Фурье функции f (x) по любой ортонормальной системе . В частности, если речь идет о тригонометрической системе , (1) то рядом Фурье функции f (x) служит ряд , (2) где , . (3) Во введении предполагали, что . Это предположение обеспечило существование коэффициентов Фурье функции f (x) в любой ортонормальной системе. Но функции системы (1) ограничены. Поэтому коэффициенты (3), а с ними и ряд (2), можно образовать для любой суммируемой функции. Вопрос о сходимости ряда (2) приводится к исследованию некоторого сингулярного интеграла. Если , то, в силу (3), . Выведем формулу для упрощения выражения в скобках. Для этого сложим равенства (k=0, 1, …, n-1), . Это дает , откуда следует равенство , (4) Пользуясь этой формулой, придадим сумме вид . (5) Этот интеграл есть сингулярный интеграл Дирихле. Рассмотрим вопрос о суммировании ряда (2) по способу Чезаро. Этот способ состоит в отыскании предела среднего арифметического первых n сумм : . (6) В случае сходимости ряда (2) в точке x последовательность сходится к сумме ряда, но эта последовательность может сходиться и тогда, когда ряд (2) расходится. Для исследования преобразуем ее с помощью формулы (5) . Но . (7) Действительно, складывая равенства (k=0, 1, …, n-1), находим , откуда и следует (7). С помощью (7) получаем . (8) Интеграл (8) есть сингулярный интеграл Фейера. Покажем, что для него выполнены условия теоремы Фаддеева. Для этого рассмотрим функцию f (t)=1. Вычисляя ее коэффициенты Фурье по формулам (3), получим (k=1, 2, …). Значит, для этой функции (n=0, 1, 2, …), а следовательно и . Но выражая интегралом Фейера, получим, что . (9) Заметив это, рассмотрим точку . Пусть . Если , то , и, следовательно, , где A ( x , α ) не зависит от n. Отсюда следует, что . Аналогично убедимся, что интеграл стремится к нулю по промежутку [β, π]. Сопоставляя это с (9), находим, что , так что функция есть ядро. Для этого ядра можно построить горбатую мажоранту. Заметим, что . Отсюда . Но . Следовательно и . (10) С другой стороны, когда , то , так что . (11) Так как , , то может оказаться и больше, чем . Но это несущественно. Если положим , , то разность между интегралом Фейера (8) и интегралом
при возрастании n стремится к нулю (т. к., например, при будет ), поэтому все рассуждения можно вести для интеграла . Из (10) и (11) следует, что . Функция есть горбатая мажоранта ядра Фейера. Но , т. е. интегралы от мажоранты ограничены числом, не зависящим от n. Итак, интеграл Фейера удовлетворяет условиям теоремы Д. К. Фаддеева. Отсюда следует Теорема 1 (Л. Фейер – А. Лебег). Почти везде на [- π , + π ] будет . (12) Это соотношение выполняется во всех точках Лебега и тем более во всех точках непрерывности функции f (t), лежащих внутри [- π , + π ]. Тригонометрическая система полна. Это означает, что всякая функция , у которой все коэффициенты Фурье (3) равны нулю, эквивалентна нулю. Избавимся от ограничения, что f (x) суммируема с квадратом. Справедлива следующая Теорема 2. Если все коэффициенты Фурье (3) суммируемой функции f (x) равны нулю, то f (x) эквивалентна нулю. В самом деле, в этом случае и, следовательно, f (x)=0 во всех точках, где имеет место (12), т. е. почти везде. Теорема 1 позволяет делать некоторые высказывания и о поведении сумм . Для этого заметим, что , так что . Отсюда .
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Генезис конфликтологии как науки в древней Греции: Для уяснения предыстории конфликтологии существенное значение имеет обращение к античной... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (231)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |