Представление функции сингулярным интегралом в заданной точке
Во всем дальнейшем будем считать, что ядро при фиксированных n и x ограничено. Тогда сингулярный интеграл имеет смысл при любой суммируемой функции f (t). Теорема 1 (А. Лебег). Если при фиксированном x ( a < x < b ) и любом δ>0 ядро слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [ a , x - δ ], [ x + δ , b ] и , где H(x) не зависит от n , то, какова бы ни была суммируемая функция f (t), непрерывная в точке x , справедливо равенство . Доказательство. Так как есть ядро, то , и достаточно обнаружить, что . С этой целью, взяв ε>0, найдем такое δ>0, что при будет . Это возможно в силу непрерывности функции f в точке x. Тогда при любом n . Но каждый из интегралов , при стремится к нулю, т. к. слабо сходится к нулю в каждом из промежутков [ a , x - δ ], [ x + δ , b ]. Поэтому для каждый из них будет по абсолютной величине меньше ε/3. И для этих n окажется , что и требовалось доказать. Эта теорема относится к представлению суммируемой функции в точках непрерывности, но суммируемая функция, вообще говоря, не имеет ни одной точки непрерывности, что понижает интерес этой теоремы. Больший интерес представляет вопрос о представлении суммируемой функции в тех точках, где эта функция служит производной своего неопределенного интеграла, или в точках Лебега, так как и те и другие точки заполняют почти весь сегмент задания функции. Перейдем к рассмотрению этого вопроса. Лемма (И. П. Натансон). Пусть на сегменте [ a , b ] дана суммируемая функция f (t), обладающая тем свойством, что . (1) Какова бы ни была неотрицательная убывающая функция g(t), заданная и суммируемая на [ a , b ], интеграл (2) существует (может быть как несобственный при t = a ) и справедливо неравенство . (3) В пояснение условий леммы заметим, что не исключается случай, когда . Если же , то функция g(t) ограничена, и интеграл (2) существует как обычный интеграл Лебега. Переходя к доказательству леммы, заметим, что не ограничивая общности, можно принять, что g(b)=0. Действительно, если бы это не было так, то можно было ввести вместо g(t) функцию g *(t), определив ее равенствами g(t), если , g *(t)= 0, если t=b. Доказав теорему для g *(t), мы затем смогли бы всюду заменить g *(t) на g(t), т. к. такая замена не отражается на величине интересующих нас интегралов. Итак, считаем, что g(b)=0. Пусть a < α < b. На сегменте [ α, b ] функция g(t) ограничена, и интеграл (4) заведомо существует. Если положить , то интеграл (4) можно записать в форме интеграла Стилтьеса , откуда, после интегрирования по частям, находим . Но, в силу (1), мы имеем, что для любого h из интервала [0, t-a ] выполняется неравенство и следовательно , (5) а так как g(t) убывает, то . (6) Значит . С другой стороны, функция – g ( t ) возрастает. Отсюда и из (5) следует, что . Преобразуем стоящий справа интеграл по формуле интегрирования по частям: . Отсюда, учитывая (6), следует, что . Сопоставляя все сказанное, получаем: . (7) Хотя это неравенство установлено при предположении, что g(b)=0, но оно останется верным и без этого предположения. Значит, можно заменить здесь предел b на β, где α< β < b. Но тогда, устремляя α и β к a, получим , чем доказывается существование интеграла (2). Если в (7) перейти к пределу при , то получим (3). Лемма доказана. (В оценке (3) множителя M уменьшить нельзя, так как при f (t)=1 в (3) достигается равенство.) Теорема 2 (П. И. Романовский). Пусть ядро положительно и обладает следующим свойством: при фиксированных n и x ядро , как функция одного лишь t , возрастает в сегменте [ a , x ] и убывает в сегменте [ x , b ]. Тогда для любой суммируемой функции f (t), которая в точке x является производной своего неопределенного интеграла, будет . Доказательство. Так как есть ядро, то и достаточно проверить, что . Разбивая последний интеграл на два, распространенные на сегменте [ a , x ] и [ x , b ], рассмотрим второй из них, так как первый изучается аналогично. Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при будет , что возможно, так как f (t) в точке t = x есть производная своего неопределенного интеграла. То есть и . Тогда по предыдущей лемме . Так как есть ядро, то . Величина, имеющая конечный предел, ограничена. Значит, существует постоянная K(x) такая, что . Таким образом, . С другой стороны, если , то . Значит функции на сегменте [ x + δ , b ] равномерно ограничены и выполнено условие (5) теоремы Лебега из §1. Но второе ее условие, т. е. условие (6), также выполнено для этих функций, т. к. является ядром. Следовательно на сегменте [ x + δ , b ] слабо сходится к нулю, и для достаточно больших n будет . При этих n окажется , так что . Теорема доказана. В качестве примера ее приложения рассмотрим интеграл Вейерштрасса . Функция есть ядро, т. к. при α<x<β . Эта функция положительна, и она возрастает при и убывает при . Значит, для всякой будет в каждой точке x, где f (t) есть производная своего неопределенного интеграла. Определение. Функция Ψ( t , x ) называется горбатой мажорантой функции , если и если Ψ( t , x ) при фиксированном x возрастает на сегменте [ a , x ] и убывает на сегменте [ x , b ]. Теорема 3 (Д. К. Фаддеев). Если ядро при каждом n имеет такую горбатую мажоранту , что , где K(x) зависит лишь от x , то для любой , имеющей точку t = x точкой Лебега, будет справедливо равенство . Доказательство. Достаточно доказать, что . Возьмем ε>0 и найдем такое δ>0, что при будет . По лемме имеем . С другой стороны, в сегменте [ x + δ , b ] последовательность слабо сходится к нулю, т. к. при будет . Следовательно для достаточно больших n будет . При этих n окажется , так что . Теорема доказана.
Популярное: Организация как механизм и форма жизни коллектива: Организация не сможет достичь поставленных целей без соответствующей внутренней... Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (217)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |