Для двумерного уравнения Лапласа соответственно имеем

U₁ + U₂+ U₃+ U₄ – 4U₀ = 0

Аналогично может быть получен конечно-разностный аналог уравнения Пуассона в цилиндрических координатах:

где r₀ – расстояние от оси симметрии до рассматриваемой точки.

Для точек, лежащих на оси симметрии, вместо (2.5) будем иметь:

U₁ + U₃+ 4U₂ – 6U₀ = - h²r / e₀ .

Записанные выше разностные уравнения связывают значения потенциала в отдельных дискретных точках, поэтому для расчета поля область, в которой ищется решение, покрывается квадратной сеткой с шагом h. Для каждого узла, лежащего внутри рассматриваемой области, составляется разностное уравнение, связывающее потенциал данного узла и четырех прилежащих к нему других узлов сетки. При этом узлам, совпадающим с границей области, приписываются фиксированные значения потенциала, равные потенциалам соответствующих точек границы.

Конечно - разностные уравнения, написанные для узловых точек сетки, образуют систему линейных алгебраических уравнений, число которых равно числу неизвестных. Таким образом, решение краевой задачи сводится к решению системы алгебраических уравнений. При этом граничные условия участвуют в решении через значения потенциалов граничных узлов и опорных точек.

Для уменьшения погрешности, связанной с заменой дифференциального уравнения разностным, необходимо уменьшать шаг сетки, что означает увеличение числа узлов и, соответственно, увеличение порядка системы уравнений. В расчетах количество узлов может достигать нескольких тысяч, вследствие чего непосредственное решение системы уравнений методом исключения оказывается невозможным и для решения используется метод последовательных приближений, иначе называемый методом итерации. В настоящее время этот метод, имеющий ряд разновидностей, получил широкое применение при расчетах полей на ЭВМ.

При расчете траектории электронов в ЭОС, широкое применение получил метод последовательных приближений, заключающийся в следующем. В качестве полей первого приближения берутся поля без учета собственных полей потока частиц. Эти поля используются для расчета траекторий первого приближения. Поля и траектории второго приближения рассчитываются с учетом (приближенным) собственных полей пучка. Процесс последовательных приближений продолжается до тех пор, пока результаты последующего п – го приближения не будут достаточно близки к результатам предыдущего (n – l) – гo приближения. В качестве критерия сходимости процесса могут, например, служить координаты и углы наклона траекторий частиц в некоторой выбранной плоскости анализируемой системы. В тех случаях, когда процесс последовательных приближений сходится, для получения конечного результата с необходимой для практики точностью обычно требуется 5 – 10 приближений.

При решении самосогласованных задач методом последовательных приближений используется дискретная модель потока частиц в виде траекторий – трубок тока. Для этого на входе в анализируемую систему поток частиц разбивается в поперечном направлении на N элементарных слоев – трубок тока. Парциальный ток каждой трубки DI_k рассчитывается исходя из площади поперечного сечения трубки и распределения плотности тока по сечению пучка (последнее предполагается известным). Этот ток приписывается одной «центральной» траектории трубки, ход которой и рассчитывается в дальнейшем. В таком случае решение самосогласованной задачи сводится к совместному решению уравнений поля, движения и непрерывности тока. Последнее применительно к данной модели пучка имеет вид DI_k = const. По известному распределению заряда производится расчет поля следующего приближения и т. д.

1.4. Способы измерения реальных магнитных полей в мощных клистронах [ 3 ].

В последнее время стали применяться полупроводниковые измерители магнитных полей, так называемые датчики э.д.с. Холла. Датчиками э.д.с. Холла можно измерять как постоянные, так и переменные магнитные поля.

Эффект Холла состоит в том, что на боковых гранях образца. Через который пропускается постоянный ток, при наличии внешнего магнитного поля возникает поперечная разность потенциалов. Для образца, сделанного из полупроводника в форме параллелепипеда, это разность потенциалов определяется уравнением

Где i_x – сила тока в образце, Н _z – напряженность магнитного поля, d – толщина образца, R – константа Холла.

Таким образом, согласно формуле (2.6) при пропускании постоянного тока через образец в нем возникает разность потенциалов, которая будет пропорциональна напряженности магнитного поля. У датчиков э.д.с. Холла пропорциональность между U и Н соблюдается с точностью до нескольких процентов для полей порядка 2 ´ 10⁴ э.

В настоящее время для изготовления датчиков используются полупроводники, обладающие большими подвижностями носителей тока. К ним относятся элементы Те, Вi, Ge, а также некоторые бинарные соединения со структурой цинковой обманки: НgSe¸ НgТе, InAs¸ InSb¸ Pbse, PbTe и AgTe.

Датчики э.д.с. Холла используются в виде тонких пластинок, которые вырезаются с помощью алмазных дисковых пил из монокристалла или поликристалла. Отрезанные пластинки шлифуются и подвергаются специальной обработке. Пленочные датчики выполнятся из НgSe и НgТе в виде тонких пленок (до 10 мк). Они получаются методом напыления полупроводника на стеклянный или слюдяной базис, через определенные трафареты. Поверхность базиса предварительно тщательно очищается. После чего наносятся металлические электроды нужной формы. Электроды изготовляются путем испарения меди в вакууме или методом вжигания серебряной пасты. Только после этого на базис, нагретый до 100⁰, наносится слой полупроводника. Полученные пленочные датчики подвергаются отжигу при температуре 100 – 110⁰, чтобы обеспечить лучшую стабильность их параметров.

Чувствительность отожженных датчиков в течение одного года изменяется только на 2 – 3%. Для предохранения датчиков от различных механических повреждений пленки полупроводника покрываются тонким слоем клея БФ-2. При изготовлении датчиков э.д.с. Холла большое внимание уделяется получению хорошего электрического контакта с полупроводником.

Контакты выполняются таким образом, чтобы они не вызывали ни ослабления, ни искажения сигнала, а при работе на переменном токе они не должны обладать выпрямительными свойствами. Для этого или шлифуется поверхность полупроводника, или наносится в некоторой ее области слой очень высокой проводимости, сделанный из того же полпроводника, что и основной слой датчика, но с большей концентрацией носителя тока.

Постановка задачи.

Как следует из проделанного обзора литературы расчет фокусирующей системы мощного клистрона с реверсной магнитной фокусировкой представляет собой решение сложной задачи электронной оптики. Из обзора также следует, что в последние годы разработаны аналитические и численные методы расчета ЭОС, использование которых позволяет сравнительно быстро провести проектирование ЭОС в том числе и с реверсной фокусировкой.

Основной целью данной работы является использование современных компьютерных программ расчета для анализа и оптимизации клистрона КИУ-147, разработанного около 15 лет тому назад. Этот клистрон используется в ускорительной технике и имеет следующие параметры:

Импульсная мощность, мВт – 5;

Средняя мощность, кВт – 25;

Частота, мГц – 2450;

КПД, % - 44;

Коэффициент усиления, дБ – 50.

В клистроне применяется двух реверсная магнитная фокусирующая система на радиально намагниченных магнитах которая формирует сорока лучевой электронный поток с суммарным первеансом 20 ´ 10^-6 А/В^3/2.

Основной задачей дипломной работы является расчет конфигурации электронных лучей от катода до конца пролетного канала и последующая оптимизация ЭОС на основе современных компьютерных программ расчета.

Исходные данные:

1. Анодное напряжение – 52 кВ;

2. Количество электронных лучей – 40;

3. Расположение электронных лучей:

а) диаметр 84 – 21 луч,

б) диаметр 64 – 19 лучей;

4. Диаметр пролетного канала 6,5 – 8 мм;

5. Суммарный первеанс » 20 ´ 10^-6 А/В^3/2;

6. Диаметр катода – 8,6 мм.