К расчету электронной пушки.

Риc. 2.1.

Очевидно, что функция и(х), заданная выражением (2.13), всегда положительна (при положительных х) и удовлетворяет условию (2.10). В области малых х функция и(х) совпадает о функцией kx ^4/3, описывающей распределение потенциала в плоском диоде.

Коэффициенты а₁, а₂, полинома (2.13) выберем таким образом, чтобы удовлетворялось условие (2.12), а с помощью коэффициентов а₃, а₄, a ₅ удовлетворим условию (2.11).

С целью отыскания соответствующих коэффициентов а₁, а₂, найдемдля функции и(х), заданной выражением (2.13), приближенное решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х.

При этом решение для функции j (х) будем искать в виде

Из этого выражения следует, что значение j "( x ) при х = 0 определяется значением в₂. Поэтому для выполнения условия (2.12) необходимо найти такие значения коэффициентов a_n, при которых в₂ обращается в нуль. С этой целью подставим выражения (2.13), (2.15) в уравнение (2.2) и, приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях х, выразим в _n через a_n. Расчет показывает, что в _n выражается через коэффициенты а₁, а₂ и для выполнения условия в₂= 0 эти коэффициенты должны вычисляться по следующим формулам:

Как следует и (2.15), коэффициент в₁ определяет значение первой производной от функции j ( x ) в точке x = 0, т.е. на катоде. Поэтому введем обозначение в₁ = j¢_k, с учетом которого формулы (2.16) и (2.17) запишутся:

Этот расчет также показывает, что в области малых х коэффициенты к, в₃, в₄ связаны с постоянными коэффициентами i, а₃, а₄ следующими соотношениями:

С помощью этих соотношений можно вычислить приближенное решение уравнения (2.2), справедливое в области малых х, если значения коэффициентов а₃, а₄ известны.

Теперь вычислим такие значения коэффициентов а₃, а₄, а₅, при которых удовлетворяются условия (2.11). Для этого возьмем первую и вторую производные от функции и(х) и в точке х = 1 положим u (1) = 1, u '(1) = 0, u "(1) = 0. Подучим систему трех уравнений, решая которую относительно а₃, а₄, а₅, найдем:

Уравнения (2.13), (2.18), (2.19), (2.23) – (2.25) определяют способ задания функции и(х), при котором выполняются как условия (2.10), (2.11), налагаемые на функцию и(х), так и условие (2.12), налагаемое на функцию j (х).

После того как определена функция и(х), можно приступать к решению внутренней задачи для электростатической электронной пуша, т.е. к решению уравнения (2.2).

Будем решать уравнение (2.2) с помощью ЭВМ при следующих начальных условиях: х = х₀; j = j₀; j’ = j’₀

Значение параметра х₀ выберем малым (0,0001 + 0,01), а значения j₀ и j ’₀ для точки х = х₀ вычислим в соответствии с (2.15) по следующим формулам:

Значения коэффициентов в₃, в₄ в области малых х, должны вычисляться по формулам (2.21), (2.22), а входящие в них значения а₃, а₄, а₅, определяются соотношениями (2.22) - (2.25).

Решение уравнения (2.2) c помощью ЭВМ будем проводить до точки x _кр, в которой производная j ’(х) обращается в нуль, т.е. до кроссовера пучка.

При решении внутренней задачи для электронной пушки необходимо задавать значения параметров i, j ¢ _k. Параметр i, как следует из (2.4), характеризует первеанс рассматриваемой пушки. Параметр j ¢ _k определяет радиус кривизны катода пушки (R _{к p}), который вычисляется по формуле:

Внешняя задача также решается с помощью ЭВМ. При этом с помощью уравнения (2.5) находится решение внешней задачи в криволинейной системе координат, а затем, решая уравнение (2.6), осуществляем переход к цилиндрической системе координат. При решении внешней задачи необходимо задавать параметр V = U / U₀, где U - потенциал того электрода, форма которого вычисляется. При расчете геометрии прикатодного фокусирующего электрода значение параметра V полагается равным нулю, а при расчете формы анода пушки значение параметра V следует вычислять по формуле

где в = r_n / r _k - коэффициент заполнения канала пучком; r_n, r _k - соответственно радиусы пучка и пролетного канала.

Выражение (2.29) характеризует провисание потенциала в трубе дрейфа прибора, заполненной пучком с микропервеансом Р _m и коэффициентом заполнения в. Оно следует из уравнений (2.2), (2.5) с учетом (2.11).

После решения внутренней и внешней задач по описанной выше методике необходимо с помощью (2.28) вычислить радиус кривизны катода R _{к p}. Радиус катода, характеризующий площадь его эмитирующей поверхности, определяется точкой пересечения дуги радиуса R _к с графиком функции j (х).

Обобщим результаты решения внутренней задачи для электростатической пушки и составим методику расчета пушки с заданными значениями параметров.

Вследствие выполнения условия (2.12) функция j (х) в области малых значений х представляет собой прямую линию, образующую с осью х угол j ¢ _k. Поэтому радиус катода r _k можно вычислить в результате решения задачи о пересечении этой прямой с дугой окружности, радиус которой определяется выражением (2.28). Решив эту задачу, получим:

Обозначим радиус пучка в кроcсовере r _кр. Очевидно, что r _кр определяется значением функции j (х) в кроссовере j _{k p} и может быть вычислен с помощью выражения:

Введем понятие линейной сходимости пучка, определив ее как отношение радиуса катода r _к к радиусу пучка в кроссовере r _кр. Из уравнений (2.31), (2.30) для линейной сходимости электронного пучка получим следующее выражение:

Зависимость j _{k p} от j ¢ _k, получена в результате решения внутренней задачи для различных значений параметра j ¢ _k, лежащих в интервале 1,2 £ j ¢ _k £ 2,4. При этом значение параметра i оставалось неизменным и равным 0,4. Вычисленная зависимость была аппроксимирована выражением

Подставляя (2.33) в (2.32), получим:

Уравнение (2.34) может быть использовано для вычисления значений параметра j ¢ _k, при котором пушка формирует пучок с заданным значением сходимости S.

При создании методики расчета электростатической пушки будем считать заданными первеанс электронного пучка Р _m, линейную сходимость электронного пучка S и коэффициент заполнения канала пучком в.

Для решения внутренней задачи необходимо задать значения параметров i, j ¢ _k, а для решения внешней задачи - дополнительно значения коэффициента m и потенциалов V₁, V₂. Потенциал V₁ определяет форму прикатодного фокусирующего электрода пушки, а потенциал V₂форму анода пушки. Поэтому значение V₁ положим равным нулю, а значение V₂ вычислим по заданным значениям Р _m и в с помощью формулы (2.29). Значение параметра i выберем равным 0,4. Значение параметра j ¢ _k найдем по заданному значению S и вычисленному значению m с помощью уравнения (2.34). Это уравнение трансцендентное и решение его возможно лишь с помощью ЭВМ.

После того как значения параметров i, V₁, j ¢ _k, m определены с помощью ЭВМ, можно провести полный расчет пушки, формирующей пучок с заданными параметрами.

Такой алгоритм расчета реализован в программе «Синтез». Эта программа вычисляет геометрию электронной пушки для клистронов и ламп бегущей волны. Для вычисления необходимо задать три параметра:

Р_m – микропервеанс электронного потока;

S – линейную сходимость электронного потока;

b – коэффициент заполнения пролетного канала электронным потоком.

В результате расчета определяется теоретическая и технологическая геометрия электронной пушки для клистронов и ламп бегущей волны.