Математическая статистика

Случайные величины имеют числовые характеристики, одной из которых является математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Математическое ожидание приближенно равно среднему значению случайной величины. Допустим, что случайная величина Х может принимать значения x₁, x₂, ..., x_n, вероятности которых соответственно равны p₁, p₂,…,p_n. Тогда математическое ожидание М(X) случайной величины X определяется равенством

M(X) = x₁p₁ +x₂p₂ + … + x_np_n.

Если дискретная случайная величина Х принимает счетное множество возможных значений, то можно записать:

Для данных, указанных в этой работе, математическое ожидание равно (p_n принимается равным 0,01)

M(X) = 1,467;

M(Y) = 9979,058266.

Моды. Медианы

Мода случайной величины (Mo) — это число с наибольшей вероятностью.

Медиана случайной величины(Me) — это ее среднее значение.

Для данных, указанных в этой работе, моды и медианы равны

Mo(X)= 1,093333333;

Mo(Y)= 8506,90117;

Me(X)= 1,42;

Me(Y)= 9689,211947.

Дисперсия

Для определения дисперсии необходимо ввести понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

Пусть X— случайная величина и М(Х)— ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разностьХ – М(Х). Эту разность и называют отклонением, т.е. разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием. При определении дисперсии используется следующее свойство отклонения:

y = px² + qx + r.

Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D(X) = M[X – M(X)]².

Также дисперсию вычисляют по формуле:

D(X) = M(X²) – [M(X)]².

Для данных, указанных в этой работе дисперсия равна:

D(X) = 0,279473288;

D(Y) = 10499319,67.

.

Среднее квадратическое отклонение

Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и другие характеристики, такие как среднее квадратическое отклонение. Средним квадратическим отклонением случайной величины X называют квадратный корень из дисперсии:

Для данных, указанных в этой работе отклонение равно:

s(X) = 0,528652332;

s(Y) = 3240,26537.

Моменты

Моменты служат для более подробной характеристики случайной величины. Они делятся на начальные и центральные. Начальные моменты характеризуют саму случайную величину, а центральные — отклонения случайной величины от М(Х).

Начальный момент n-го порядка — математическое ожидание от n-ой степени случайной величины; обозначается:

α_n = M(Xⁿ).

Центральный момент n-го порядка — математическое ожидание величины (X – M(X))ⁿ; обозначается:

μ_n = M[(X – M(X))ⁿ].

В частности,

α₁ = M(X); μ₁ = 0;

α₂ = M(X²); μ₂ = D(X).

Для данных, указанных в этой работе, начальные и центральные моменты 1-3 порядков равны:

Математическая статистика — это наука, которая занимается получением, обработкой и анализом данных, характеризующих количественные закономерности жизни общества в неразрывной связи с их качественным содержанием. Статистика, в узком смысле — это совокупность данных о каком-либо процессе или явлении. Основной задачей математической статистики является выяснение вероятностных свойств совокупности: распределения, числовых характеристик и т. д. с применением методов теории вероятности, позволяющих оценить надёжность и точность выводов, делаемых на основании ограниченного статистического материала (выборки) Совокупность объектов, или совокупность значений какого-то признака объектов, называется генеральной совокупностью. Обычно из генеральной совокупности делают выборку, т.е. исследуют некоторые ее объекты. Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. С помощью выборки оценивают генеральную совокупность по вероятным свойствам. Чтобы оценки были достоверными, выборка должна быть представительной, т.е. ее вероятностные свойства должны совпадать или быть близкими к свойствам генеральной совокупности. Часто под генеральной совокупностью понимают и исследуемую случайную величину. Для исследования случайной величины при постоянных условиях выполняются испытания. Совокупность полученных значений также называется выборкой и обрабатывается статистически. Методы статистической обработки выборки аналогичны в обоих случаях. При исследовании объектов можно фиксировать или измерять значение одного или нескольких признаков, т.е. речь может идти об одномерной или многомерной выборках.