Решение задач о встрече методом Монте-Карло.

2019-07-03

199

Обсуждений (0)

0.00 из 5.00 0 оценок

⇐ Предыдущая 1 2 3 45

Рассматриваемые в этом разделе задачи являются обобщением задачи 8.1. по встрече из раздела 8.

Задача 17.1.:

Мария, Иван и Петр хотят встретиться в промежутке времени от 0 до 1 часа пополудни. Каждый из них появится на месте встречи в свой случайный момент времени или соответственно или из отрезка . Каждый пришедший ждет своего товарища в течение 20 минут или до момента времени t=1, если от момента прихода до момента времени t=1 остается меньше 20 минут.

Какова вероятность, что они все трое встретятся?

Решение:

Сделаем построение подобное построению из раздела 8. Только теперь построение будет в пространстве. Введем прямоугольную систему координат XYZ. Полагаем х= ,у= ,z= . Тогда точка с координатами х,у и z соответствует приходу Марии в момент времени х= , Ивана – в момент у= иПетра – в момент z= . Достоверному событию Ω соответствует в пространстве XYZ куб Событию А, которое осуществляется, если Мария, Иван и Петр все встретятся соответствует тело . Это тело состоит из точек, лежащих в кубе и к тому же удовлетворяющих условиям

|x–y|≤1/3, |y–z|≤1/3, |x–z|≤1/3 (17.1)

Поэтому

Р(А)= (17.2)

Здесь есть объем куба , есть объем тела . Вычислить объем тела

|x–y|≤1/3,|y–z|≤1/3,|x–z|≤1/3 (17.3)

затруднительно. Вычислим его методом Монте-Карло по схеме Бернулли. При этом будем работать со случайными величинами , которые принимают значение равное единице, когда точка оказывается в теле , и принимают значение равное нулю, когда точка оказывается вне тела . Тогда согласно геометрическому определению вероятности и закону больших чисел (см.разделы 7 и 12) полагаем

P(A)= (17.4)

Здесь n – число испытаний по бросанию точки в куб , m – число попаданий в тело . Равенство (17.4) выполняется с большой точностью и с большой вероятностью, если число испытаний n достаточно велико.

Такие испытания, выполненные на компьютере при n=1000000 дали следующий результат

Р(А)= 0.259 (17.5)

Ответ: Вероятность Р(А) того, что Мария, Иван и Петр все встретятся равна 0.259.

Задача 17.2.:

Условия задачи 17.2. повторяют условия задачи 17.1. Но вопрос в задаче 17.2. является таким.

Какова вероятность, что встретятся по крайней мере двое из трех?

Решение:

Назовем событием В событие, что встретятся по крайней мере двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.1. Только в случае события В искомая вероятность Р(В) определяется формулой

Р(B)= m/n (17.6)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3 ) ( (17.7)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.6) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(В)= 0.964 (17.8)

Ответ: Вероятность Р(В), что встретились по крайней мере двое из трех равна 0.964.

Задача 17.3.:

Условия задачи 17.3. повторяют условия задачи 17.2. Но вопрос в задаче 17.3. является таким.

Какова вероятность, что встретятся двое и только двое из трех?

Решение:

Назовем событием С событие, что встретятся двое и только двое из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.2. Только в случае события С искомая вероятность Р(С) определяется формулой

Р(С)= m/n (17.9)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3,|y–z|>1/3 , |x-z|>1/3 )

( (17.10)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.9) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(C)= 0.520 (17.11)

Ответ: Вероятность Р(C), что встретились двое и только двое из трех равна 0.520.

Задача 17.4.:

Условия задачи 17.4. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.4. является таким.

Какова вероятность, что не встретились никто из трех?

Решение:

Назовем событием D событие, что не встретится никто из трех. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события D искомая вероятность Р(D) определяется формулой

Р(D)= m/n (17.12)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x-z|>1/3 ),( (17.13)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.12) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат

Р(D)= 0.037 (17.14)

Ответ: Вероятность Р(D), что не встретятся никто из трех равна 0.037.

Задача 17.5.:

Условия задачи 17.5. повторяют условия задачи 17.3. Но вопрос в задаче 17.5. является таким.

Какова вероятность, что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся?

Решение:

Назовем событием Е событие, что встретится один из трех с каждым из двух других, но эти другие двое друг с другом не встретятся. Повторим построения по аналогии с построением для задачи 17.3. Только в случае события Е искомая вероятность Р(Е) определяется формулой

Р(Е)= m/n (17.15)

Здесь есть объем тела , которое определяется условиями

|x–y|≤1/3,| х –z|≤1/3 , | у -z|>1/3 )

( (17.16)

где запятая заменяет логическую связку and.

Объем тела был вычислен снова на компьютере по схеме Бернулли. Только здесь число m в (17.15) означает число попаданий точки в тело . Испытания при n=1000000 дали следующий результат