Методическая система по формирования математических понятий: множества, величины, числа, алгебраических и геометрических понятий.

В начальных классах формируются следующие математические понятия:

1. Множество, частные случаи операций над множествами.

2. Величина.

3. Геометрический материал.

4. Число, количественный и порядковый (аксиоматический) подходы к множеству натуральных чисел.

5. Операции над натуральными числами (количественный и аксиоматический подходы), их свойства.

6. Числовые выражения. Числовые равенства и неравенства, их свойства.

7. Выражения с переменными, их область определения. Тождество.

8. Уравнения и неравенство; их область определения и множество решений. Свойства уравнений и неравенств.

9. Функции: понятие, область определения, область значений, способы задания.

Множество, частные случаи операций над множествами.

Множество – это основное неопределяемое понятие.

При формировании понятия «множество» нужно научить детей задавать множество указанием характеристических свойств, перечислением элементов, с помощью кругов Эйлера-Венна; уметь определять принадлежит ли данный элемент множеству или нет; находить мощность конечного множества (количество элементов множества).

Так, показав картину, учитель спрашивает: «Что на ней изображено?» Дети отвечают, например, «Яблоки» (то есть задается множество указанием характеристического свойства). Затем учитель показывает изображение груши и спрашивает: «Входит ли она в заданное множество?» Дети отвечают: «Нет».

Формирование смысла арифметических действий над натуральными числами и их свойств базируется на основе соответствующих операций над множествами и их законов. Здесь важно использовать множества, а не их мощности, то есть при формировании смысла арифметических действий нужно избегать возможности нахождения результата операции с помощью пересчета элементов получившегося множества.

Над множествами можно выполнять 5операций.

Рассмотрим их.

1. Объединение множеств.

Объединением двух множеств называется такое множество, элементы которого принадлежат хотя бы одному из этих множеств.

Это определение легко можно проиллюстрировать на кругах Эйлера-Венна, где заштрихованная часть является результатом объединения двух множеств (рис. 2.1):

 

 а) б) в)                       г)

 

 

Рис. 2.1

Основные свойства этой операции:

а) коммуникативный закон: А В = В А

б) ассоциативный закон: {А В} C = A {B C}.

Случай а) является теоретической основой формирования смысла операции сложения натуральных чисел, а коммуникативный и ассоциативный законы выступают в начальных классах как переместительное и сочетательное свойства суммы натуральных чисел.

Операцию сложения натуральных чисел можно сформировать с помощью такой практической работы. Слева на парте лежат треугольники, а справа квадраты. Учитель просит собрать вместе и назвать получившееся множество. Дети отвечают: «Мы получили геометрические фигуры». Учитель обобщает: «Мы выполнили сложение, которое обозначается знаком «+» и называется суммой (рис.2.2).

 

 

                                                              +

 

 

                                     

                                           сумма

 

Рис. 2.2

Таким образом, сложение натуральных чисел рассматривается как частный случай объединения двух чисел.

Так как объединение множеств коммунитативно и ассоциативно, то переместительное и сочетательное свойства сложения можно сформировать сразу же после введения слова «сумма». Так учитель может задать вопрос: «Изменится ли сумма, если сначала в центр парты положить квадраты, а потом треугольники?

Показать прикладную сторону использования коммунитативности сложения можно на такой практической работе.

На партах учеников выложены треугольники и квадраты. Количество квадратов в 3 – 4 раза превышает количество треугольников. Кто быстрее по одной геометрической фигуре соберет их в одну группу. После практической работы ученики должны сделать вывод, как быстрее можно выполнить работу и почему.

2. Пересечение множеств.

Пересечением двух множеств называется такое множество, элементы которого принадлежат первому и второму множеству (рис. 2.3).

 

 а) б) в)                       г)

 

Рис. 2.3

Основные свойства этой операции:

а) коммуникативный закон: А В = В А

б) ассоциативный закон: {А В} C = A {B C}.

Пересечение двух множеств можно формировать в начальных классах при рассмотрении, например, общей части геометрических фигур: прямоугольника АВСД и квадрата КСМЕ (рис. 2.4).

     В                             С

 

                                                         М

     А              К  

Е

Рис. 2.4

 

3. Разность множеств.

Разностью множеств А и В называется такое множество, элементы которого принадлежат множеству А и не принадлежит множеству В (рис.2.5).

Случаи г) и д) являются теоретической основой формирования смысла операции вычитания натуральных чисел.

 

а) б) в)   г) д)

 

Рис. 2.5

Операцию вычитания натуральных чисел можно сформировать с помощью такой практической работы.

В пенале лежат письменные принадлежности (ручки и карандаши), выложили на парту все ручки, а карандаши с пеналом положили в портфель. Надо узнать, сколько было карандашей. Чтобы ответить на вопрос задачи, надо знать, сколько было письменных принадлежностей всего, сколько было ручек. Разность между ними и есть карандаши. Таким образом операция вычитания натуральных чисел рассматривается как случай разности двух множеств.

4. Декартово произведение двух и более множеств.

До сих пор порядок записи элементов множества роли не играли. Однако в практике, зачастую, порядок записи элементов имеет большое значение. Например, порядок букв в слове, или порядок записи однозначных чисел в многозначном числе (23 = 32).

Кортежем длины n называется упорядоченная n – ка (а , а , …а ), где а А ,а А ,…, а А .

Декартовым произведением множеств А х А х…х А называется множество всевозможных кортежей ( а , а ,…а ), где а А , а А,… а А .

Декартово произведение обладает следующими основными свойствами:

1) А х В = В х А;

2) M (A x B) = m (B x A) – количество элементов декартова произведения В х А.

В начальных классах операция умножения натуральных чисел рассматривается как мощность декартова произведения.

Операцию умножения натуральных чисел можно сформировать с помощью такой практической работы.

На парте лежат короткие, средние, длинные палочки красного, синего, желтого и белого цветов. Надо разложить их по цвету и по размеру.

По цвету По размеру

Красные- Короткие – красная, синяя, желтая, белая

Синие - Средние – красная, синяя, желтая, белая

Желтые -                        Длинные - красная, синяя, желтая, белая

Белые –

В первом случае палочек 3 + 3 + 3 + 3 = 3 х 4, во втором – 4 + 4 + 4 = 4х3.

Так как в обоих случаях были разложены все палочки, то 3 х 4 = 4 х 3. Таким образом, эта практическая работа позволяет сформировать не только смысл операции умножения как мощности декартового произведения, но и переместительное свойство умножения.

5. Разбиение.

Операция разбиения на попарно непересекающееся подмножества характеризуются следующими свойствами:

1) ни одно из подмножеств не пусто;

2) любые два подмножества не имеют общих элементов;

3) объединение всех подмножеств дает данное множество.

Операция деление натуральных чисел опирается на разбиение конечного множества на попарно непересекающиеся равномощные подмножества. Она раскрывается путем рассмотрения задач на деление по содержанию и равные части. Это можно осуществить на примере таких работ.

Пример № 1. Несколько карандашей надо раздать трем ученикам. Сколько карандашей получит каждый ученик и сколько их было?

Сначала раздадим по одному карандашу, потом еще по одному и так далее. Пусть каждый ученик получил по 4 карандаша, тогда всего карандашей было: 4 кар. х 3 =12 кар.

Пример № 2. Несколько карандашей надо раздать детям по 4 карандаша. Сколько учеников получит карандаши и сколько их было всего?

Сначала 4 карандаша дали одному ученику, потом 4 карандаша дали второму и так далее. Пусть 3 ученика получили по 4 карандаша, тогда всего карандашей было : 4 кар. х 3 = 12 кар.

Затем учитель должен обобщить полученные результаты: «В первой задаче мы искали первый сомножитель, а во второй задаче мы искали второй сомножитель. Так как умножение обладает переместительным свойством, то мы выполнили в обеих задачах одну и ту же операцию, которая называется делением». После этого учитель записывает:

4 х 3 = 12; 12 3 = 4;

4 х 3 = 12, 12 4 = 3.

2. Величина

Понятие величины является фундаментальным в школьном курсе математики и, в особенности, в начальном обучении. Ведь исторически работа с величинами и привела к появлению математики как таковой. Рассматривая величину как свойство однородных предметов или явлений «быть сравнимым», учитель может с помощью конкретных предметных действий сформировать у учащихся такие важнейшие понятия, как положительное действительное число, операции над числами и их законы, измерение величин и именованные числа, тесно связать геометрический и арифметический материал.

Величины бывают трех видов: скалярные, аддитивно-скалярные, векторные.

Примером скалярных величин является свойство химических элементов быть сравнимыми по активности. Так, натрий более активен, чем железо. Однако, сказать, на сколько он более активен нельзя, то есть нельзя выполнить операцию сложения: к активности железа нельзя, например, добавить активность свинца и получить активность натрия поэтому скалярные величины не являются той основой, на которой возникла математика.

Аддиктивно-скалярные величины (аддитивность – это наличие операции сложения; аддитивная операция – операция сложения) можно не только сравнивать, но и определять, на сколько один элемент множества, обладающего величиной, больше (меньше) другого элемента этого же множества.

Таким образом, аддитивно-скалярные величины можно складывать и поэтому именно на их основе возникла в результате абстрагирования математика. Примером аддитивно-скалярных величин является множество отрезкой, площадей.

Векторные величины можно сравнивать не только с позиции «столько», «больше». «меньше», но и по направлению. Примерами векторных величин является скорость, ускорение.

В начальных классах специальным предметом изучения являются следующие аддитивно-скалярные величины: количество, длина, площадь, масса, емкость, время.

В дальнейшем, для упрощения, вместо того, чтобы говорить «аддитивно-скалярная величина», или «множество, обладающее величиной», будем говорить просто «величина».

Рассмотрим основные свойства величин.

1. Свойство быть сравнимым.

Это свойство должно формироваться в начальных классах в три этапа на основе предметных действий детей.

а) Визуальное сравнение.

Приведем примеры практических работ.

Пример 1. (рис. 2.6). Приложив полоски, выяснить, какие из них длиннее (рис. 2.6).

Пример 2. Наложив друг на друга два листа бумаги, выяснить, какой из них больше (рис. 2.7).

 

 

Рис. 2.7

Пример 3. Взяв в одну руку деревянный шар, а другую металлический шар, определить, какой из них тяжелее (шары одинаковые по размеру).

Пример 4. Сравнить два ведра одинаковой формы и ответить, в какое из них больше поместиться воды (рис. 2.8).

 

 

 

Рис. 2.8

 

б) Опосредованное сравнение.

Пример 1. Ученикам предлагается сравнить длины двух отрезков, изображенных на доске; определить по рисунку в книге, кто из детей живет ближе к школе.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, используются две веревочки. Ими измеряют длины, а затем наложением сравнивают.

Пример 2. Ученикам предлагается сравнить массы двух тел, с этой целью используются рычажные весы.

2). Сравнение с помощью посредников.

Пример 1. Учащимся предлагается сравнить расстояние Евпатория – Симферополь, Евпатория – Киев.

Пример 2. Ученикам предлагается сравнить две площади разной конфигурации (рис. 2.9).

 

 

Рис. 2.9

Пример 3. Ученикам предлагается сравнить возраст своих родителей.

В каждом случае ученики придут к выводу, что ни визуально, ни опосредовано провести сравнение невозможно. Они сделают вывод о том, что величины необходимо сначала измерить, а потом сравнить числа, полученные в результате измерения. Тем самым ученики подводятся к пониманию причины возникновения числа.

2. Наличие операции сложения.

Величины можно складывать, то есть имеет место операция сложения. Эта операция имеет такие важные свойства:

1) единственность суммы;

2) коммутативность сложения (переместительное свойство);

3) ассоциативность сложения (сочетательное свойство).

Операцию сложения и ее свойство нужно формировать у учащихся не только на примере такой величины, как количество, но и на примерах других величин.

Пример 1. Ученикам предлагается перевязать большой пакет имеющимися маленькими веревочками.

Ученики связывают обрывки веревок и перевязывают пакет. При этом подчеркивают, что порядок, в котором связываются обрывки веревок, роли не играет (переместительное и сочетательное свойство сложения).

Пример 2. Ученику предлагается угостить соком своих друзей, если у него имеется разное количество сливового сока и грушевого.

Ученик сливает сок в одну посуду и получает грушево – сливовый сок, которым угощает друзей. Подчеркивается, что количество сока не измениться от того, в каком порядке он сливается.

Так как сложение величин является теоретической основой формирования смысла операции сложения, а не нахождения результата сложения, поэтому при рассмотрении данных примеров учитель должен избегать возможности измерения величин, в том числе и пересчета.

3. Умножение величины на натуральное число.

Пол умножением величины а на натуральное число n понимается сумма в одинаковых величин: а + а +…+ а = а n.

Это свойство является теоретической основой операции умножения в начальных классах. Поэтому, при ее формировании необходимо подчеркивать, что одна и та же величина повторяется несколько раз, то есть именованное число нужно ставить при умножении на первое место.

Пример 1. Учащимся предлагается составить полоску из четырех одинаковых полосок и измерить ее. Дети получают в результате измерения 40 см.

Учитель предлагает найти длину полоски не измеряя ее, если известно, что она состоит из четырех одинаковых полосок по 10 см каждая.

Дети записывают: 10 см + 10 см + 10 см + 10см = 40 см.

Учитель обращает внимание на громоздкость записи и знакомит их с другой записью и новой операцией – умножением: 10 см 4 = 40 см.

Учащиеся под руководством учителя делают вывод о том, что в данном случае умножение представляют сумму одинаковых величин, то есть, что умножение есть частный случай сложения.

Пример 2. Задача. Сколько минут отводится ученику на выполнение контрольной работы, если надо решить 5 примеров и на каждый пример отводится 4 минуты?

4 мин x 5 = 15 мин (4 минуты повторятся 5 раз).

Примечание. Подход к операции умножения как к сумме одинаковых величин позволяет объяснить смысл умножения натуральных чисел, начиная с двух. Умножение на 1, на 0, умножение дробных чисел нельзя рассматривать с позиции суммы одинаковых слагаемых.

4. Свойство неограниченной делимости.

Любую величину а при произвольном натуральном числе m можно представить в виде суммы одинаковых величин b: а = b + b + …+ b или а = b m. Это означает, что b является той m –той частью а, то есть величина b есть 1/m доля величины а.

Доля является одним из случаев обыкновенной дроби, что и надо подчеркнуть при изучении доли в начальных классах. Это можно сделать, например, в ходе решения следующих задач.

Задача 1. 12 яблок разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый ребенок?

Каждый ребенок получит четвертую часть от 12 яблок, то есть по 3 яблока.

Задача 2. Одно яблоко надо разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый?

Каждый получит четвертую часть, то есть 1/4 яблока.

Задача 3. Пять яблок надо разделить поровну между четырьмя детьми. Сколько яблок получит каждый?

Каждый получит четвертую часть, то есть 1 яблоко и еще 1/4 яблока, что составляет 1и 1/4 яблока или 5/4 яблока.

5. Аксиома Архимеда.

Если а и b две однородные величины и а > b, то найдется такое натуральное число n, что а < b n.

Эта аксиома позволяет выполнять измерения величин, что широко применяется в начальных классах.

В ходе измерения ученики получают конкретное натуральное число (в данном случае это число 4).

Пример 2. Измерить емкость банки с помощью стакана. Сколько стаканов помещается в банке?

Пример 3. Измерить площадь многоугольника данной меркой (рис. 2.11).

 

 

Рис. 2.11

Наличие общей мерки.

 

Общей меркой однородных величин a и b называется такая величина c, которая помещается в a и b целое число раз: a = c x n и b = c x m.

Свойство двух однородных величин иметь общую мерку лежит в основе формирования понятия обыкновенной дроби.

В начальных классах представление об обыкновенной дроби можно сформировать с помощью следующей практической работы.

Детям предлагается измерить отрезок AB с помощью отрезка CD (рис. 2.12).

Дети убеждаются, что отрезок CD не помещается в AB целое число раз. Тогда им предлагается в качестве мерки отрезок МК, с помощью которого они измеряют отрезки AB и CD. Пусть в отрезке AB отрезок МК помещается 4 раза, а в отрезке CD – 3 раза. Значит, отрезок МК является 1/3 частью отрезка CD и поэтому в отрезке AB отрезок CD помещается 5/3 раза. Таким образом, в результате измерения отрезка AB отрезком CD получилась дробь 5/3.

Примечание. Еще в глубокой древности ученые пришли к выводу, что существуют и величины, которые не имеют общей мерки. Таким образом, в результате измерения могут получиться натуральные числа, дробные числа (положительные рациональные числа) и иррациональные числа, то есть любое положительное действительное число есть результат измерения величин. Поэтому измерению различных величин в начальных классах должно быть уделено серьезное внимание.

Требования к измерению величин.

1. Равным однородным величинам должно быть поставлено в соответствие единственное число.

Формирование в начальных классах этого требования к измерению величин осуществляется в следующей последовательности:

а) визуальное сравнение;

б) опосредованное сравнение;

в) создание проблемной ситуации: как быть, если ни визуально, ни опосредованно сравнить нельзя. Ученики подводится к выводу, что нужно сравнить числа, которые получаются в результате измерения.

Примеры практических работ на визуальное сравнение, опосредованное сравнение, необходимость измерения величин были приведены выше.

2. Из множества однородных величин выбирается одна, которой ставится в соответствие число один.

Здесь важно показать, что за единицу измерения может быть взят любой элемент. Однако, если одинаковые по величине элементы будут измеряться разными единицами измерения, то полученные числа не помогут сделать верный вывод по сравнению этих элементов. Этот момент можно сформировать у учащихся с помощью следующей практической работы.

Пример 1. Учитель показывает три одинаковые полоски красного, белого и черного цветов и просит, не накладывая их назвать, какая из них короче, а какая – длиннее. Дети называют черную полоску самой короткой, а белой – самой длинной. Тогда, раздав одному ряду красные полоски, другому – белые, третьему черные, учитель просит измерить их мерками (полосками), которые заранее розданы на парты. В результате измерения красных полосок дети получают число 3, черных – 4, белых – 2. После этого учитель наложением полосок убеждает детей, что они одинаковой длины, и задает вопрос: «Почему в результате измерения получились разные числа?» Учащиеся приходят к выводу, что нужно договориться и измерять одинаковыми мерками (единицами измерения). После этого можно провести беседу о разных единицах измерения длин.

Пример 2. Аналогичную работу можно провести по измерению площадей, взяв одинаковые листы бумаги белого, черного и красного цветов, а за единицу измерения белого листа бумаги взять 1/2 листа, красного листа бумаги –1/4 листа, черного листа бумаги – 1/8.

3. Если величина «а» есть сумма величин «b» и «c», то ее мера равна сумме их мер.

Сформировать это требование можно при помощи следующих практических работ.

Пример 1. Надо перевязать пакет с помощью нескольких коротких веревочек. Ученики связывают нужное количество обрывков и перевязывают пакет. Дается задание: какой длины веревку нужно взять оператору почты, чтобы перевязать пакет такого же размера, если веревку связали из трех кусков длиной 10 см, 15 см и 30 см. Дети находят: 10см +25см +30 см =55 см.

Пример 2. Нужно сравнить две геометрических фигуры разной формы (рис. 2.12). В ходе измерения дети приходят к выводу, что фигуры равновелики, так как они равносоставлены.

 

Рис. 2.12

Пример 3. Учитель дает задание составить из одинакового набора геометрических фигур дом и собаку (рис. 2.13).

                   

 

 

Рис.2.13