Общеметодический подход к формированию математических понятий в школьной практике

В школьной практике многие учителя добиваются от учеников заучивания определений понятий и требуют знания их основных доказываемых свойств. Однако результаты такого обучения обычно незначительны. Это происходит потому, что большинство учащихся, применяя понятия, усвоенные в школе, опираются на малосущественные признаки, существенные же признаки понятий ученики осознают и воспроизводят только при ответе на вопросы, требующие определения понятия. Часто учащиеся безошибочно воспроизводят понятия, то есть обнаруживают знание его существенных признаков, но применить эти знания на практике не могут, опираются на те случайные признаки, выделенные благодаря непосредственному опыту. Процессом усвоения понятий можно управлять, формировать их с заданными качествами

Достигается это через выполнение следующей системы условий.

Первое условие. Наличие адекватного действия: оно должно быть направлено на существенные свойства. Выбор действия определяется, прежде всего, целью усвоения понятия. Допустим, понятие усваивается для того, чтобы распознавать объекты, относящиеся к данному классу. В этом случае необходимо использовать действие распознавания, действие подведения под понятие. Если учащиеся не знакомы с этими действиями, то необходимо раскрыть их содержание, показать, как следует их выполнять.

Второе условие. Знание состава используемого действия. Так, действие распознавания включает: а) актуализацию системы необходимых и достаточных свойств понятия; б) проверку каждого из них в предлагаемых объектах; в) оценку полученных результатов с помощью одного из логических правил распознавания (для понятий с конъюнктивной и понятий с дизъюнктивной системой признаков). При раскрытии содержания действия особое внимание уделяется его ориентировочной основе, которая должна быть не только адекватной, но и полной.

Действие распознавания может быть использовано при формировании понятий с конъюнктивной структурой признаков; дизъюнктивные понятия требуют некоторого изменения в процессе распознавания объектов.

Для понятий с дизъюнктивной структурой признаков правило распознавания, как было показано, имеет такой вид:

- объект относится к данному понятию, если он обладает, хотя бы одним признаком из числа альтернативных;

- если объект не обладает ни одним из этих признаков, то он не относится к данному понятию;

- если ни про один из признаков неизвестно, есть он или его нет, то неизвестно, относится или не относится этот объект к данному понятию

Кроме действия распознавания можно использовать и другие, которые мы рассмотрели ранее: выведение следствий, сравнение, классификация, действия, связанные с установлением иерархически» отношений внутри системы понятий. Порядок формирования логических действий определяется как содержанием каждого из них, так и отношениями друг с другом.

Третье условие. Все элементы действия представлены во внешней, материальной (или материализованной) форме. Применительно к действию подведения под понятие это выглядит следующим образом. Система необходимых и достаточных признаков понятия выписывается на карточку, эти признаки материализуются. (При усвоении, например, понятия перпендикулярные прямые даются модели прямой линии, прямого угла.)

Учащимся разъясняют, что плюс означает наличие соответствующего признака, минус - отсутствие, знак вопроса - «неизвестно» (невозможность дать определенный ответ). Плюс после вертикальной черты означает, что определяемый предмет подходит под данное понятие, знак минус - не подходит, знак вопроса - неизвестно, подходит или нет. Кроме того, указывается, что во втором и третьем случаях ответ не изменится, если минус и знак вопроса будут относиться не ко второму, а к первому признаку. Алгоритм распознавания выписывается также на карточку.

Четвертое условие - поэтапное формирование введенного действия. В случае использования действия подведения под понятие проведение его через основные этапы осуществляется следующим образом. На этапе предварительного знакомства с действием учащемуся, после создания проблемной ситуации, раскрывают назначение действия подведения под понятие, важность проверки всей системы необходимых и достаточных признаков, возможность получения разных результатов, все это поясняя на конкретных случаях в материализованной форме. После этого учащемуся предлагается самому выполнить действие (это уже материализованный этап).

Учащиеся, используя ориентиры (признаки, правила) в материальной или материализованной форме, устанавливают наличие необходимой системы признаков у предметов, задаваемых непосредственно или в виде моделей и чертежей. Результаты выполнения каждой операции фиксируются с помощью тех же условных знаков («+», «-», «?») на заранее заготовленных схемах.

Система может, конечно, состоять из большего или меньшего числа необходимых и достаточных признаков.

Пятое условие - наличие пооперационного контроля при усвоении новых форм действия. Как было уже указано, контроль лишь по конечному продукту действия не позволяет следить за содержанием и формой выполняемой учащимися деятельности. Пооперационный контроль обеспечивает знание и того, и другого. При формировании понятий с помощью действия подведения под понятие в качестве операций выступает проверка каждого признака, сравнение с логическим правилом и так далее.

Естественно, что перед формированием действия подведения под понятие необходимо установить исходный уровень познавательной деятельности учащихся и произвести формирование необходимых предварительных знаний и действий.

Более подробно остановимся на поэтапном формировании понятий.

После выполнения пяти-восьми заданий с реальными предметами или моделями учащиеся без всякого заучивания запоминают и признаки понятия, и правило действия. Затем действие переводится во внешнеречевую форму, когда задания даются в письменном виде, а признаки понятий, правило, и предписание называются или записываются учащимися по памяти. На этом этапе учащиеся могут работать парами, поочередно выступая то в роли исполнителя, то в роли контролера.

В том случае, когда действие легко и верно выполняется во внешнеречевой форме, его можно перевести во внутреннюю форму. Задание дается в письменном виде, а воспроизведение признаков, их проверку, сравнение полученных результатов с правилом учащийся совершает про себя. Учащийся все еще получает указания типа «Назови про себя первый признак», «Проверь, есть ли он» и т.д. Вначале контролируется правильность каждой операции и конечного ответа. Постепенно контроль осуществляется лишь по конечному результату и производится по мере необходимости.

Если действие выполняется правильно, то его переводят на умственный этап: учащийся сам и выполняет, и контролирует действие. В программе обучения на этом этапе предусматривается контроль со стороны обучающего только за конечным продуктом действия; обучаемый получает обратную связь при наличии затруднений или неуверенности в правильности результата. Процесс выполнения теперь скрыт, действие стало полностью умственным, идеальным, но содержание его известно обучающему, так как он сам его строил и сам преобразовал из действия внешнего, материального.

Так постепенно происходит преобразование действия по форме. Преобразование действия по обобщенности обеспечивается специальным подбором заданий. При этом учитывается как специфическая, так и общелогическая часть ориентировочной основы действия.

Для обобщения специфической части, связанной с применением системы необходимых и достаточных признаков, даются для распознавания все типичные виды объектов, относящихся к данному понятию. Так, при формировании понятия угол важно, чтобы учащиеся поработали с углами, отличающимися по величине (от 0° до 360° и больше), по положению в пространстве и т.п. Кроме того, важно взять и такие объекты, которые имеют лишь некоторые признаки данного понятия, но к нему не относятся.

Для обобщения логической части действия распознавания даются для анализа все основные случаи, предусмотренные логическим правилом подведения под понятие, т.е. задания с положительным, отрицательным и неопределенным ответами. Можно включать также задания с избыточными условиями. Характерно, что в практике обучения, как правило, дается лишь один тип задач: с достаточным составом условий и положительным ответом. В результате учащиеся усваивают действие распознавания в недостаточно обобщенном виде, что, естественно, ограничивает пределы его применения. Задачи с избыточными, неопределенными условиями дают возможность научить учащихся не только обнаруживать те или иные признаки в предметах, но и устанавливать достаточность их для решения стоящей задачи. Последние в жизненной практике часто выступают как самостоятельная проблема.

Преобразование действия по двум другим свойствам достигается повторяемостью однотипных заданий. Делать это целесообразно, как было указано, лишь на последних этапах - шестом или пятом. На всех других этапах дается лишь такое число заданий, которое обеспечивает усвоение действия в данной форме. Задерживать действие на переходных формах нельзя, так как это приведет к автоматизации его в данной форме, что препятствует переводу действия в новую, более позднюю форму.

Во всех случаях, когда реализовались указанные условия, то есть процесс усвоения шел не стихийно, а контролировался учителем, понятия формировались с заданным содержанием и со следующими характеристиками:

Шестое условие - разумность действий испытуемых. Главное, что постоянно подтверждалось, - это ориентировка учащихся с самого начала на всю систему существенных признаков, т.е. имела место разумность действий.

Для установления разумности действий используются три вида задач:

а) задачи, в которых имеется полный состав условий, но чертеж не соответствует условиям задачи;

б) задачи с неполным составом условий и без чертежа;

в) задачи с неполным составом условий и не адекватным условию задачи чертежом. (Например, в условии сказано, что даны два равных угла с общей вершиной. Спрашивается, будут ли они вертикальными. На чертеже изображены вертикальные углы. Правильный ответ: «Неизвестно», так как нет данных о том, составляют ли стороны одного угла прямые линии со сторонами другого.) Этот вид задач объединяет в себе особенности первых двух. Проверку разумности целесообразно начинать с предъявления именно таких задач. Если испытуемый справляется с ними, то это достаточный показатель разумности его действий. В самом деле, подобные задачи могут быть правильно решены только при ориентировке на обобщенную систему существенных признаков и на логическое правило распознавания. В том случае, когда ученик ориентируется на чертеж, он обязательно ошибается. Если он учитывает лишь отдельные существенные признаки, то задача также будет решена неверно. Наконец, решение этих задач требует знания всех возможных случаев, которые могут быть при решении задач на распознавание. В частности, умения дифференцировать случай, когда ответ неопределенный, и случай, когда ответ отрицательный, то есть когда условия полные, но известно, что предмет не обладает какими-то необходимыми признаками.

Седьмое условие - осознанность усвоения. Все учащиеся при работе с понятиями должны правильно аргументировать свои действия, указывая при этом основания, на которые они опирались при ответе.

Восьмое условие - уверенность учащихся в знаниях и действиях. Учащиеся обнаруживают не только разумность и осознанность, но и большую уверенность в своих действиях.

Если действия выступают как предмет специального усвоения, где имеет место управление ходом их формирования, - действия и знания формируются как разумные, сознательные, произвольные, и это приводит к тому, что дети действуют адекватно и уверенно.

Девятое условие - отсутствие связанности чувственными свойствами предметов. При школьном обучении учащиеся лишены адекватной ориентировочной основы, поэтому они учатся дифференцировать предметы, опираясь на те их свойства, которые лежат на поверхности. Таким образом, ученики идут на поводу внешних, чувственных свойств не в силу особенностей своего мышления, а потому, что не имеют в своем распоряжении ничего более надежного. Но как только мы даем им средства опоры на существенные свойства, которые далеко не всегда являются наглядными, они успешно используют их, не попадают во власть случайных свойств, если даже последние являются яркими и постоянными в предметах.

Десятое условие - обобщенность понятий и действий. Обобщенность формируемых понятий и действий проверяется двумя путями. Во-первых, устанавливается возможность испытуемых применить сформированные понятия и действия в новых условиях, в той или иной степени отличающихся от условий обучения (например, сохраняя в процессе обучения устойчивость материала, цвета и формы объектов, в контрольных заданиях предъявляются объекты данного класса, имеющие другой цвет, другую форму, сделанные из другого материала). Во-вторых, устанавливается влияние сформированных понятий на процесс усвоения новых - как из той же области знаний, так и существенно иной.

Одиннадцатое условие - прочность сформированных понятий и действий. Сформированные знания и действия не только приводят к правильным ответам, но и сохраняют все рассмотренные качества: разум­ность, сознательность.

Используя данную систему условий можно добиться от учеников сознательного и систематического усвоения математических понятий, применения на практике.