Распространение волн на неглубокой воде.

 

Формулы, выведенные выше, пригодны только для волн на глубокой воде. Они ещё достаточно точны, если глубина воды равна половине длины волны. При меньшей глубине частицы воды на поверхности волны описывают не круговые траектории, а эллиптические, и выведенные соотношения неверны и принимают на самом деле более сложный вид. Однако для волн на очень мелкой воде, а также для очень длинных волн на средней воде зависимость между длиной и скоростью распространения волн принимает опять более простой вид. В обоих этих случаях вертикальные перемещения частиц воды на свободной поверхности весьма незначительны по сравнению с горизонтальными перемещениями. Поэтому опять можно считать, что волны имеют приблизительно синусоидальную форму. Так как траектории частиц представляют собой очень сплющенные эллипсы, то влиянием вертикального ускорения на распределение давления можно пренебречь. Тогда на каждой вертикали давление будет изменяться по статическому закону.

 

Пусть на поверхности воды над плоским дном распространяется со скоростью с справа налево «вал» воды шириной b, повышающий уровень воды от h₁ до h₂ (рисунок 4.4). До прихода вала вода находилась в покое. Скорость её движения после повышения уровня ω. Эта скорость не совпадает со скоростью вала, она необходима для того, чтобы вызвать боковое перемещение объёма воды в переходной зоне шириной b вправо и тем самым поднять уровень воды.

 

 

рис 4.4 п

 

Наклон вала по всей его ширине принимается постоянным и равным . При условии, что скорость ω достаточно мала, чтобы ей можно было пренебречь по сравнению со скоростью с распространения вала, вертикальная скорость воды в области вала будет равна (рисунок 4.5)

 

рис 4.5

 

Условие неразрывности 3.4, применённое к единичному слою воды (в направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка 4.4), имеет вид

ω₁l₁ = ω₂l₂ , (интеграл исчез из-за линейности рассматриваемых площадок),

здесь ω₁ и ω₂ – средние скорости в поперечных сечениях l₁ и l₂ потока соответственно. l₁ и l₂ – линейные величины (длины).

Это уравнение, применённое к данному случаю, приводит к соотношению

h₂ω = bV , или h₂ω = c (h₂-h₁). (4.9)

Из 4.9 видно, что связь между скоростями ω и c не зависит от ширины вала.

Уравнение 4.9 остаётся верным и для вала непрямолинейного профиля (при условии малости угла α). Это легко показать, разбивая такой вал на ряд узких валов с прямолинейными профилями и складывая уравнения неразрывности, составленные для каждого отдельного вала:

, откуда при условии, что разностью h₂ - h₁ можно пренебречь и вместо h_2i в каждом случае подставить h₂, получается . Это условие справедливо при уже принятом допущении о малости скорости ω (смотри 4.9).

К кинематическому соотношению 4.9 следует присоединить динамическое соотношение, выведенное из следующих соображений:

Объём воды шириной b в области вала находится в ускоренном движении, так как частицы, составляющие этот объём, начинают своё движение на правом краю с нулевой скоростью , а на левом краю имеют скорости ω (рисунок 4.4). Из области внутри вала берётся произвольная частица воды. Время, за которое над этой частицей проходит вал, равно

;

поэтому ускорение частицы

. (4.10)

Далее ширина вала (его линейный размер в плоскости, перпендикулярной рисунку) принимается равной единице (рисунок 4.6). Это позволяет записать выражение для массы объёма воды, находящегося в области вала, следующим образом :

h1

, где h_m есть средний уровень воды в области вала. (4.11)

рис. 4.6

Разность давлений по обе стороны вала на одной и той же высоте составляет (по формуле гидростатики) , где постоянная для данного вещества (воды) .

Следовательно, полная сила давления, действующая на рассматриваемый объём воды в горизонтальном направлении, равна . Второй закон Ньютона (основное уравнение динамики) с учётом 4.10 и 4.11 запишется в виде:

, откуда . (4.12)

Таким образом, ширина вала выпала из уравнения. Аналогично тому, как это было сделано для уравнения 4.9, доказывается, что уравнение 4.12 применимо также для вала с другим профилем при условии, что разность h₂ - h₁ мала по сравнению с самими h₂ и h₁.

Итак, имеется система уравнений 4.9 и 4.12. Далее в левой части уравнения 4.9 h₂ заменяется на h_m (что при низком вале и как следствие малой разнице h₂ - h₁ вполне допустимо) и уравнение 4.12 делится на уравнение 4.9:

, после сокращений получается

.

Чередование валов с симметричными углами наклонов (т. н. положительных и отрицательных валоы) приводит к образованию волн. Скорость распространения таких волн не зависит от их формы.

Длинные волны на мелкой воде распространяются со скоростью , называемой критической скоростью.

Если на воде следуют друг за другом несколько низких валов, из которых каждый несколько повышает уровень воды, то скорость каждого последующего вала несколько больше скорости предыдущего вала, так как последний уже вызвал некоторое увеличение глубины h. Кроме того, каждый последующий вал распространяется уже не в неподвижной воде, а в воде, уже движущейся в направлении движения вала со скоростью ω. Всё это приводит к тому, что последующие валы догоняют предыдущие, в результате чего возникает крутой вал конечной высоты.