Зависимость длины волны от скорости распространения. Механизмы возникновения волн на свободной поверхности жидкости.

Формулировка задачи исследования.

 

Для любых механических волн одними из важнейших характеристик являются длина волны и скорость её распространения.

Задача данного исследования – проследить зависимости этих величин друг от друга на примере волн, возникающих на свободной поверхности жидкостей, рассмотреть процесс интерференции волн разной длины, описать механизм их появления и распространения.

 

Исходные положения и допущения.

 

Рассматриваемая жидкость (вода) принимается несжимаемой, невязкой и идеальной.

В исследовании волновых процессов на свободной поверхности жидкости в качестве жидкости будет рассматриваться вода. Для расчётов потребуются следующие характеристики для воды при обычных условиях:

ρ = 1 г/см³;

С = 72,5 мН/м;

Эти значения будут использованы для количественной оценки выведенных соотношений, но, тем не менее, все формулы будут представлены в общем виде для произвольной жидкости.

Свободная поверхность жидкости соприкасается с воздухом. Волны, образующиеся на свободной поверхности воды, приводят в движение соприкасающийся с ними воздух. Допустим, что массой этого воздуха можно пренебречь по сравнению с массой жидкости. Тогда давление на свободной поверхности воды будет равно атмосферному.

Также принимается, что частицы свободной поверхности воды описывают траектории, совпадающие с окружностью. Здесь имеется в виду траектория частиц в системе отсчёта, движущейся вместе с волнами с их фазовой скоростью с . Такое движение имеет место при отсутствии трения.

Исходная система основных уравнений.

 

Уже введённое допущение о несжимаемости жидкости в математической форме принимает вид:

ρ = const; (3.1)

Закон изменения импульса выражается из уравнения движения в форме Эйлера

; 5(3.2)

Уравнение сохранения энергии в общем виде:

В этом уравнении 5 слагаемых. Они имеют следующий смысл (слева направо):

1) изменение кинетической энергии;

2) работа объёмных сил;

3) работа сил давлений;

4) работа сил трения;

5) внешняя механическая работа.

Учитывая допущения параграфа 2, четвёртый член обнуляется (отсутствие трения). Уравнение принимает вид:

 (3.3)

Уравнение неразрывности запишется в виде:

 , , (3.4)

где δσ – элемент поперечного сечение трубки тока в каком-либо месте, V_n - средняя скорость в

этом сечении, ρ=const - плотность жидкости (жидкость несжимаема – смотри §2).

Уравнения 3.1-3.4 являются исходными для проведения исследования. На них опираются все дальнейшие доказательства и выводы.

Преобразование исходной системы уравнений к расчётной форме.

 

Зависимость длины волны от скорости распространения. Механизмы возникновения волн на свободной поверхности жидкости.

 

 

Как было принято в пункте 2, движение частиц свободной поверхности в системе отсчёта, двигающейся с фазовой скоростью волны (с абсолютной скоростью движения гребней волн), происходит по траекториям, близким к окружностям. В указанной системе отсчёта движение является установившимся (см. рис. 4.1).

рис 4.1

Пусть фазовая скорость с, радиус окружности, описываемой частицей воды, расположенной на свободной поверхности, равен r, а период обращёния этой частицы по своей траектории равен Т. Тогда в неподвижной системе отсчёта скорость течения на гребнях волн будет равна

ω₁ = c - ;

а во впадинах волн

ω₂ = c + ;

Разность высот между наивысшим (h_в) и наинизшим (h_н) положениями точек свободной поверхности равна h = h_в - h_н = 2r.

После ряда допущений в уравнении 3.2 и интегрирования уравнения движения вдоль линии тока получается уравнение сохранения движения в одной из форм уравнения Бернулли. Далее представлен пошаговый вывод с постепенным введением допущений:

Уравнение 3.2 в проекциях на оси координат (при допущении, что среда идеальная и невязкая):

, ;

Этих двух уравнений достаточно для последующего вывода, в них проигнорирована одна из координат y – это допустимо, так как разговор идёт о двухмерном движении. Далее первое уравнение домножается на dx, второе домножается на dz и оба уравнения складываются:

Далее записывается уравнение линии тока (вторым допущением является то, что движение происходит только вдоль линии тока): , откуда . Это допущение позволяет группу слагаемых из левой части суммарного уравнения представить в виде

.

Действительно, .

Далее поле внешних сил принимается потенциальным (вообще говоря, в нашем случае это поле сил тяжести). Это означает, что существует такая силовая функция U, для которой  и .

Тогда  (первая скобка в правой части суммарного уравнения).

Последнее слагаемое суммарного уравнения есть не что иное, как  - полный дифференциал давления P, делённый на плотность. Самая первая скобка суммарного уравнения в векторном виде запишется как . Теперь, когда все слагаемые рассмотрены, можно переписать суммарное уравнение в упрощённом виде: . Дальнейшие упрощения приводят к обнулению первого члена этого уравнения, т. к. для установившегося течения . Теперь, ещё раз вспомнив о потенциальности поля сил тяжести, можно записать , .

Это значение подставляется в полученное дифференциальное уравнение, после чего последнее интегрируется вдоль линии тока:

,

.

Жидкость несжимаема (ρ=const), поэтому .

 

Получилось уравнение  + =  + ;

Применительно к рассматриваемой задаче , здесь давления сократились, т. к. согласно допущению, принятому в параграфе 2, во всех точках свободной поверхности давление равно атмосферному.

ω₂² – ω₁² = h_в – h_н = 2gh = 4gr,

после подстановки вместо ω₂ и ω₁ их значений, получается:

(c + )² - (c - )² = 4gr,

. (4.1)

Радиус r в эту формулу не вошёл, следовательно, фазовая скорость волн (скорость распространения волн) не зависит от высоты волн. Гребень волны продвигается за время Т на расстояние λ, называемое длиной волны, следовательно,

.

Подставим это значение в формулу 4.1:

. (4.2)

Таким образом, для волн на поверхности воды скорость их распространения, в отличие от, например, звуковых волн, сильно зависит от длины волны. Длинные волны распространяются быстрее, чем короткие. Волны с разной длиной могут налагаться друг на друга без заметного взаимного возмущения. При этом короткие волны как бы приподнимаются длинными волнами, затем длинные волны уходят вперёд, а короткие остаются позади них.

 

 

рис 4.2

 

Из расположения линий тока видно (см. рис. 4.2 - здесь система отсчёта неподвижна относительно покоящейся воды), что скорость движения воды быстро убывает с увеличением глубины, а именно, пропорционально уменьшению величины , следовательно, на глубине, равной длине волны, скорость составляет только

,

то есть более чем в 500 раз меньше, чем скорость на поверхности.

Формула 4.2 справедлива только для низких волн, причём независимо от их высоты. Для высоких волн скорость с в действительности несколько больше того значения, которое даёт формула 4.2. Кроме того, при высоких волнах траектория частиц воды, расположенных на свободной поверхности, получаются незамкнутыми: вода на гребне волны уходит вперёд на большее расстояние, чем на то, на которое она возвращается назад во впадине волны (см. правую часть рис. 4.2). Следовательно, при высоких волнах происходит перенос воды вперёд.

Также формула 4.2 справедлива лишь для длинных волн. В общем случае кроме силы тяжести на волны действует также поверхностное натяжение. Они стремится сгладить волновую поверхность, и поэтому скорость распространения волн увеличивается. Теория показывает, что в общем случае скорость распространения волн равна

, (4.3)

с, см/с

где С – капиллярная постоянная. Для длинных волн преобладающую роль играет первый член под корнем, для коротких – наоборот, второй член.

Справа представлен график распределения скоростей волн в зависимости от длины волны для воды.

с1 = 23,3 см/с

λ1 = 1, 72 см

λ, см

Из графика видно, что у скорости волны есть минимум. Найдём аналитически минимальную возможную скорость распространения волн на свободной поверхности воды. Для этого необходимо взять производную по длине волны от выражения для скорости 4.3 и приравнять её нулю:

=0;

 - длина волны, при которой скорость волны минимальна. Это значение можно подставить в 4.3:

.

Получилось выражение для минимально возможной скорости распространения волны.

рис. 4.3

Волны, длина которых больше λ₁, называются гравитационными, а волны, длина которых меньше λ₁, - капиллярными. На графике к

 

капиллярным волнам относится левая ветвь, к гравитационным – правая. а

 Волны могут возникать и на поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности, расположенных одна над другой. Если обе жидкости неподвижны и плотности их равны ρ₁ и ρ₂, со фазовая скорость волн выражается формулой

.

Возникновение устойчивых волн в таком случае возможно только если их длина достаточно велика. Короткие волны неустойчивы, что неизбежно приводит к перемешиванию обеих жидкостей в промежуточной зоне.

Пусть верхняя жидкость течёт со скоростью ω₁ относительно нижней. Возникшие волны распространяются со скоростью, равной среднему значению первоначальных скоростей над и под поверхностью раздела. На рисунке 4.3 выбрана такая система отсчёта, которая движется с этой средней скоростью. Следовательно в этой системе отсчёта гребни и впадины волн остаются неподвижными, верхний поток движется вправо, а нижний – влево.

На линии тока выделяется частица жидкости. Для этой точечной частицы нормальное ускорение равно , где ω – скорость течения на линии тока, r – радиус кривизны в рассматриваемой точке (может быть как положительным в месте выпуклости линии тока, так и отрицательным в месте вогнутости). Уравнение движения в проекции на направление r даёт:

, где ∂s – элемент дуги, p – давление в рассматриваемой точке, ρ – плотность жидкости.

Получается, что знак ∂p зависит только от знака радиуса кривизны, т. е. давление растёт по мере приближения к выпуклости линии тока и понижается у вогнутости. На рисунке 4.3 области повышенного давления обозначены плюсами, пониженного – минусами. Очевидно, что такое течение не может быть устойчивым. Жидкость из пиков волн устремится внутрь соседней среды, и обе жидкости перемешаются с образованием вихрей.

При увеличении скорости граница между неустойчивостью и устойчивостью перемещается в сторону волн с большей длиной волны, поэтому на поверхности соприкосновения двух жидкостей различной плотности могут устойчиво существовать только достаточно длинные волны.