Графики математических функций

При построении графиков элементарных математических функций значения функций задаются в конечном числе точек. Если просто соединить эти точки отрезками прямых линий, то полученная ломаная совсем не будет похожа на истинный график функции.

Если Вы начнете увеличивать число точек, в которых вычис­ляются значения функции, то это потребует введения большого количества данных, и построение графика потеряет наглядность.

Мы не будем увеличивать число точек, в которых вычисляются значения функций, а воспользуемся при построении графиков интер­поляционными многочленами, при помощи которых реализован процесс построения гладких кривых в формате диаграмм График.

Этот режим построения можно задать при выборе типа и фор­мата диаграммы.

В результате графики будут иметь вид гладких кривых, прохо­дящих через заданные точки. Построим графики двумерных функций у=х*х/8, y=sin(x) и у=1 n (1+х) и расположим их на одном рисунке, и трехмерной функции - гиперболическо­го параболоида, который описывается уравнением вида z=(x/a)2 -(у/Ь)2.

При построении графиков часто возникает проблема ото­бражения на ограниченном экране широкого диапазона измене­ния данных. Одним из способов решения этой проблемы явля­ется введение логарифмической шкалы для области значений.

Excel поддерживает при построении графиков логарифмиче­скую шкалу как для обычных типов графиков, так и для смешан­ных, то есть на одной оси Вы можете ввести логарифмическую шкалу, а на другой - линейную.

Лекция № 3

 Множество. Способы его задания. Характеристические свойства множеств. Операции над множествами.

Понятие множества принадлежит к числу основных, неопределяемых понятий математики. Оно не сводится к другим, более простым понятиям. Поэтому его нельзя определить, а можно лишь пояснить, указывая синонимы слова «множество» и приводя примеры множеств: множество – набор, совокупность, собрание каких-либо объектов (элементов), обладающих общим для всех их характеристическим свойством.

Примеры множеств:

1) множество студентов в данной аудитории;

2) множество людей, живущих на нашей планете в данный момент времени;

3) множество точек данной геометрической фигуры;

4) множество чётных чисел;

5) множество корней уравнения х²-5х+6=0;

6) множество действительных корней уравнения х²+9=0;

Основоположник теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) писал: «Множество есть многое, мыслимое нами как единое». И хотя это высказывание учёного не является в полном смысле логическим определением понятия множества, но оно верно поясняет, что когда говорят о множестве, то имеют в виду некоторое собрание объектов, причём само это собрание рассматривается как единое целое, как один (новый) объект.

Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами.

Множество обычно обозначают большими латинскими буквами, а элементы множества − малыми латинскими буквам. Если элемент, а принадлежит множеству А, то пишут: а А, а если а не принадлежит А, то пишут: а А.

Например, пусть N–множество натуральных чисел. Тогда 5 N , но N, N. Если А - множество корней уравнения х²-5х+6=0, то 3  А, а 4 А.

В математике часто исследуются так называемые числовые множества, т.е. множества, элементами которых являются числа. Для самых основных числовых множеств утвердились следующие обозначения:

N- множество всех натуральных чисел;

Z- множество всех целых чисел;

Q- множество всех рациональных чисел;

R- множество всех действительных чисел.

Приняты также обозначения Z⁺ , Q⁺, R⁺ соответственно для множеств всех неотрицательных целых, рациональных и действительных чисел, и Z^¯, Q^¯, R^¯ -для множеств всех отрицательных целых, рациональных и действительных чисел.

Способы задания множества

Множество А считается заданным, если относительно любого объекта а можно установить, принадлежит этот объект множеству А или не принадлежит; другими словами, если можно определить, является ли а элементом множества А или не является. Существуют два основных способа задания множества:

1)перечисление элементов множества;

2)указание характеристического свойства элементов множества, т.е. такого свойства, которым обладают все элементы данного множества и только они.

Первым способом особенно часто задаются конечные множества. Например, множество студентов учебной группы задаётся их списком. Множество, состоящее из элементов a, b, c, … ,d ,обозначают с помощью фигурных скобок: А={a; b; c; …;d} . Множество корней уравнения х²-5х+6=0 состоит из двух чисел 2 и 3: А={2; 3}. Множество В целых ешений неравенства -2 < х < 3 состоит из чисел –1, 0, 1, 2, поэтому В={–1; 0; 1; 2}.

Второй способ задания множества является более универсальным. Множество элементов х, обладающих данным характеристическим свойством Р(х), также записывают с помощью фигурных скобок: Х={х | Р (х)}, и читают: множество Х состоит из элементов х, таких, что выполняется свойство Р(х). Например, А={х | х²-5х+6=0}. Решив уравнение х²-5х+6=0, мы можем записать множество А первым способом: А={2; 3}.

Другой пример: Х={х | -1 ≤ х < 4, х  Z}, т.е. Х есть множество целых чисел х, таких, что –1 ≤ х < 4, значит, по-другому: Х={-1; 0; 1; 2; 3}.

Рассмотрим и такой пример: F={f | │f´(x)│≤ 1 , 1 < x < 2}, т.е. F- множество функций f, производная которых в интервале (1; 2) не превосходит по абсолютной величине числа 1.

Может случиться, что характеристическим свойством, определяющим множество А, не обладает ни один объект. Тогда говорят, что множество А - пустое (не содержит ни одного элемента) и пишут: А= Ø.

Например, А={х | х²+9=0, х R} –множество действительных чисел х, таких, что х²+9=0- пустое множество, т.к. таких действительных чисел нет.