Уравнение конвективной диффузии
Пусть имеется раствор с плотностью растворителя и плотностью растворенного вещества – , тогда плотность раствора запишется в виде
Запишем уравнение неразрывности для растворителя:
Диффузию не учитываем, потому что в жидкостях коэффициент диффузии мал. Будем считать, что растворитель является несжимаемым, т.е. не зависит от пространственных координат и
Тогда из выражения (2.19), получим
Запишем уравнение неразрывности для раствора:
В (2.22) подставим (2.18), получим Учитывая (2.20), (2.21) и независимость от пространственных координат, получим
Опустим штрих, предполагая в дальнейшем – плотность примеси.
Поясним в (2.24) значение каждого слагаемое: Первое слагаемое описывает изменение массового содержания в рассматриваемой точке; Второе слагаемое отвечает за конвекцию; Третье слагаемое отвечает за диффузию. Физический смысл уравнения (2.24) заключается в следующем: изменение концентрации, со временем, в рассматриваемой точке происходит за счет конвекции и диффузии. На практике в (2.24) слагаемым можно пренебречь, в силу его малости.
Метод характеристик
Пусть движение несущей жидкости происходит вдоль оси , тогда уравнение без диффузионной конвекции запишется
Одномерное уравнение без диффузионной конвекции (или конвекционное уравнение). Задача Коши для уравнения (1). Требуется найти функцию , где и удовлетворяющую условиям:
Получим решение задачи методом характеристик. Метод характеристик заключается в переходе от эйлеровых переменных и к лагранжевым. Связь производных в эйлеровых и лагранжевых координатах записывается в виде:
Уравнение (1) таким образом можно записать как систему двух уравнений:
где уравнение (4) – уравнение для характеристик. Из (5) следует, что , где некоторая постоянная. Но т.к. , то . Из (4) получаем
Равенство (6) – решение уравнений характеристик. Интегральные линии уравнения (4) на мировой плоскости , , т.е. графики движения частиц при заданной скорости , называются характеристиками уравнения (1). Пусть при , , т.е.
Подставляя (7) в (2), получим
Для того, чтобы получить решение задачи Коши нужно решить систему двух уравнений:
Подставим уравнение (10) в (9), получим
Выражение (11) является решением задачи Коши для уравнения (1). Решение (11) представляет собой волну бегущую вправо со скоростью . Начально-краевая задача для уравнения (1) (смешанная задача)
Рис.4.
На рисунке 4 изображены характеристики уравнения (1), где при начальное условие, а при граничное условие, граничная характеристика. Для задачи Коши решенной ранее,
Получим решение для граничного решения.
Запишем уравнения (1) в виде
Из (6) следует, что , где . Учитывая (3) получим . Интегрируя (7) получаем
Пусть при , тогда
Разделим обе части (9) на получим
При ,
Подставляя (11) в (3) получаем
Тогда решая систему получаем решение граничной задачи в виде
В (12) . Решение начально-краевой задачи будет иметь вид
где , единичная функция Хевисайда. Решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения
Построим формулу Даламбера для уравнения
Уравнение (1) – уравнение эволюции локального параметра.
Тогда уравнение (1) запишем в виде системы двух уравнений:
Интегрируя (4), получим
Пусть при , , тогда
Подставим (5) в (3), получим
Исключим в (6) для этого учтем начальное условие (7).
Подставим (9) в (6), получим
Исключим в (10) и , потом :
Выражение (11) – формула Даламбера (решение задачи Коши для неоднородного конвекционного уравнения). Покажем что (11) является решением (1). Продифференцируем формулу (11) по , получим
Продифференцируем формулу (11) по , получим
Подставляя (13) и (12) в (1), получаем
Откуда получаем тождество: . Следовательно, выражение (11) является решением уравнения (1).
Популярное: Почему стероиды повышают давление?: Основных причин три... Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (205)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |