Математические модели радиогеохимического эффекта
Математическая постановка задачи в указанных выше предположениях в одномерном случае включает уравнение для радиоактивных примесей в несущей жидкости
и в скелете пористой среды
где – пористость,
Складывая (3.6) в (3.7), получим идентичные уравнения для плотности радиоактивного вещества в жидкости
и скелете пористой среды
где скорость конвективного переноса примесей определяется выражением
Так как химический потенциал является функцией от концентрации, то разложим его в ряд Тейлора вблизи точки равновесия растворенного вещества
Предполагается, что в равновесии химические потенциалы радиоактивных веществ равны . Пренебрегая в (3.13) слагаемыми порядка выше первого, получаем
где . Для простоты считаем, что процесс фильтрации равновесный, так что концентрации радиоактивных веществ в жидкости и скелете пористой среды определяются из условия равенства химических потенциалов
Такое же условие и для нефти в скелете .
Постановка задачи Исследование динамики примесей при поршневом вытеснении нефти водой из пористой среды приводит к краевым задачам математической физики. В общем случае разработка данной теории требует совместного рассмотрения уравнений (3.10) и (3.11) с краевыми условиями. Однако плотности в скелете и насыщающей жидкости связаны равенством . Это соотношение позволяет отыскивать решение только одного из уравнений, поскольку второе решение находится умножением или делением на . Можно показать, что найденное таким образом второе решение будет удовлетворять соответствующему дифференциальному уравнению в частных производных. Краевые условия задачи определяются из очевидных соображений. Требуется найти решение уравнения для жидкости
в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти . Предполагается, что на левом конце стержня поддерживается постоянная концентрация радиоактивного вещества , поэтому для подобласти граничное условие имеет вид
Требуется найти решение уравнения для скелета
в виде функции , удовлетворяющие граничным условиям, в подобласти . В подобласти на правой подвижной границе поддерживается неизменной плотность радиоактивного вещества в скелете, поэтому граничное условие для уравнения скелета имеет вид
Это условие определяет перенос радиоактивных веществ из нефтенасыщеной зоны пористой среды в водонасыщенную. Решение задач Найдем решение уравнения (3.16) в более общем виде. То есть для уравнения
с граничным условием
для области Решение уравнений (3.16) находится методом характеристик.
Интегрируя первое уравнение системы (16), получаем
Из второго уравнения следует, что , где – некоторая постоянная. Но т.к. , то . Найдем границы области в котором есть решение. Пусть при , тогда Для начального момента, при и
Уравнение (3.23) представляет собой границу. Параметризуем уравнение (3.22). Зададим так, чтобы получить значение при , т. е. . При ,
Подставляя значение параметра в (15) получим
Так как , то
Таким образом это выражение (3.27) есть решение уравнения (3.16) в более общем виде. Для частного случая, т. е. не зависит от , решение
Полученное решение (8) для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости, удовлетворяет граничному условию для жидкости в подобласти . Решение для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим из условия равенства химических потенциалов
Таким же образом, в более общем виде решим уравнение для скелета
с граничным условием
для области .
Интегрируя первое уравнение (3.32), получаем
Из второго уравнения следует, что , где – некоторая постоянная. Но т.к. , то . Параметризуем уравнение (3.33): при , . Тогда
Так как
Подставим значение параметра (3.34) в граничное условие для скелета пористой среды
То теперь
Выражение (3.35) есть решение уравнения для скелета (3.30) в общем виде. Частное решение получаем из (3.35) исключая .
Полученное решение (3.36) для плотности радиоактивного вещества в скелете, удовлетворяет граничному условию подобласти . Используя соотношение (3.15) находим решение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости подобласти получим из условия равенства химических потенциалов
Проверка значений на границах подобласти При , на правой границе
при и на левой границе
Окончательное выражение для плотности радиоактивного вещества в вытесняющей жидкости имеет вид:
и для плотности радиоактивного вещества в скелете в той же области получим
Для области , занимаемой вытесняемой нефтью плотности радиоактивного вещества в скелете и нефти остаются неизменными:
Результирующая плотность радиоактивных веществ в пористой среде ρ+ складывается из плотности в насыщающей жидкости, скелете и нефти, поэтому окончательное выражение имеет вид
Популярное: Почему люди поддаются рекламе?: Только не надо искать ответы в качестве или количестве рекламы... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (208)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |