Частотные характеристики звеньев и систем

Передаточная функция системы имеет вид

Заменяя в W(P) оператор Р на  и проводим необходимые преобразования:

Умножая числитель и знаменатель  на комплексное сопряжённое чмсло знаменателю:

Выделяем вещественную и мнимую составляющие:

;

Находим АЧХ и ФЧХ:

Задаваясь рядом значений частоты (ω=0,001…0,1) находятся значения ВХЧ и МХЧ. Строится АФЧХ в координатах (Im,Re).

Задание на работу

Дано: дифференциальное уравнение системы (согласно заданному варианту из разд. 3.2).

Требуется:

а) найти передаточную функцию;

б) определить частотные характеристики системы АЧХ, ФЧХ, ВЧХ, МЧХ;

в) на миллиметровой бумаге построить график АФЧХ для 15 значений частот.

В отчете представить:

1)задание для практической работы и вариант задания.

2)порядок выполняемых действий с комментариями.

3)результаты по выполнению пунктов а, б, в.

Исследование устойчивости систем автоматического управления с помощью критериев Русса и Гурвица

Алгебраические критерии Рауса и Гурвица представляют собой алгебраические неравенства, связывающие между собой коэффициенты характеристического уравнения системы

В дальнейшем будем полагать, что коэффициент a_n > 0. Если это не так, то умножением на -1 характеристическое уравнение приводится к нужной форме.

Пример 1

Определить, устойчива ли система с характеристическим уравнением

0,8P⁷ + 5,5P⁶ +15P⁵ + 25P⁴ + 28P³ +17P² + 6P + 1 = 0.

Составляем таблицу Рауса:

r	Номер строки	Номер столбца
		1	2	3	4
	-	0,8	15	28	6
	-	5,5	25	17	1
	1	c11 = 15 - 0,145 - 25 = 11,4	ср = 28-0,145- 17 = 25,5	с13 = 6-0, 145-1 = 5,85	0
	2	с21 = 25 - 0,482 - 25,5 = 12,7	с22= 17-0,482-5,85 = 14,2	c23 =1	0
	3	c31 = 25,5 - 0,898 - 14,2= 12,8	c32= 5,85-0,898-1 = 4,96	Сзз-0	0
	4	с41 =14,2 - 0,992 - 4,96 = 9,28	c42 = 0	0	0
	5	c51 = 4,97 – 1,38·1=3,59	c52 = 0	0	0
	6	c61 = 1	0	0	0

Все элементы первого столбца положительны и все корни характеристического уравнения поэтому левые. Система устойчива.

Пример 2

Построить на устойчивость систему с характеристическим уравнением

25P⁴ + 28P³ +17P² + 6P + 1 = 0.

Составляем определитель Гурвица

Вычисляем определители Гурвица:

Δ₁ = 28; Δ₂ = 28·17 - 6·25 = 326; Δ₃ = 28·17·6 + 6·1·0 + 0·25·28 - 0·17·0 - 6·25·6 --28·1·28 = 1172; Δ₄ = Δ₃ = а₀ = 1172·1 = 1172;

Все определители Гурвица положительны. Система устойчива.

Задание на работу

Дано:

а) характеристическое уравнение системы №1

a₇ P⁷ + a₆ P⁶ + a₅ P⁵ + a₄ P⁴ + a₃ P³ +a₂ P² + a₁ P + 1 = 0.

б) характеристическое уравнение системы №2

a₄ P⁴ + a₃ P³ +a₂ P² + a₁ P + 1 = 0.

Требуется исследовать систему №1 на устойчивость с помощью критерия Рауса, систему №2 с помощью критерия Гурвица.

В отчёте представить:

1) задание для практической работы и вариант задания;

2) порядок исследования систем на устойчивость;

3) промежуточные и окончательные результаты исследования.