Однородное дифференциальное уравнение первого порядка .
Функция f(x,y) называется однородной степени m, если . Функция f(x,y) называется однородной нулевой степени, если . Например, функция является однородной второй степени. Действительно, . Функция однородная нулевой степени, так как . Всякая однородная функция нулевой степени может быть представлена в виде функции от отношения y/x (или отношения x/y). Действительно, пусть f(x,y) – однородная функция нулевой степени, тогда, взяв в качестве , имеем , где может рассматриваться как функция отношения y/x, т.е. . Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка F(x,y,y/)=0, называется однородным, если оно может быть представлено в виде y/=f(x,y) или ., где f(x,y) – однородная функция нулевой степени. Решение однородного дифференциального уравнения сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными заменой y/x=u или y=ux, где u-функция от x. Подставляя в исходное уравнение и , получаем уравнение вида или , являющиеся с разделяющимися переменными. Если u=g(x,c) или Ф(x,u,c)=0 является его общим решением, то y=xg(x,c) или Ф(x,y/x,c)=0 будет общим решением исходного уравнения. Пример 1. Рассматривается уравнение (x2-y2)dx+2xydy=0. Перепишем его в виде . Справа стоит функция однородная нулевой степени. Действительно, . Итак, преобразованное уравнение является однородным дифференциальным уравнением. Решаем его заменой y=ux. Получаем или , т.е. . Разделяя переменные приходим к уравнению . Интегрируем левую и правую части этого уравнения: . Приравнивая найденные интегралы, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения относительно переменных x и u или , где c>0. Потенциируя последнее выражение, общее решение получает вид , где c – произвольная постоянная. Заменяя u=y/x, получаем общий интеграл исходного дифференциального уравнения или y2+x2=cx, Последнее выражение приводится к виду . Таким образом, семейством интегральных кривых исходного уравнения является семейство окружностей с центрами в точках , лежащих на оси x, и радиусами . Очевидно, все эти окружности касаются оси y в точке начала координат. На рис. 6 изображено семейство этих окружностей. Пример 2. Требуется найти частное решение уравнения , Удовлетворяющих начальному условию y(1)=0. Нетрудно видеть (убедиться), что справа стоит однородная функция нулевой степени. Итак, исходное дифференциальное уравнение является однородным. Выполняя замену y=ux, приводим его к виду или . Разделяем переменные, получаем . Интегрируя обе части этого уравнения, получаем общее решение вспомогательного дифференциального уравнения или . Подставим в него и получим . Логарифмируя обе части этого уравнения получаем и далее . Последнее соотношение дает общее решение исходного дифференциального уравнения. Чтобы найти частное решение, воспользуемся начальными условиями x=1,y=0. Подставим их в общее решение , отсюда и . Таким образом, искомое частное решение имеет вид .
Популярное: Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... Как распознать напряжение: Говоря о мышечном напряжении, мы в первую очередь имеем в виду мускулы, прикрепленные к костям ... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (193)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |