Дифференциальное уравнение первого порядка в полных дифференциалах .
Определение. Пусть дифференциальное уравнение первого порядка представлено в виде M(x,y)dx+N(x,y)dx=0, Где M(x,y) и N(x,y) – функции двух переменных x и y. Тогда, если левая часть уравнения есть полный дифференциал некоторой функции U(x,y), т.е. dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, то такое уравнение называется уравнением в полных дифференциалах. Уравнение в полных дифференциалах кратко можно представить в виде dU(x,y)=0, а поэтому общий интеграл (решение) такого уравнения имеет вид U(x,y)=0. Дифференциальное уравнение такого типа возникает, когда поведение системы подчинено условию сохранения некоторой величины U(энергии, массы, стоимости и т.д.). Отметим следующий признак, позволяющий определить является ли рассматриваемое уравнение уравнением в полных дифференциалах. Путьс dU(x,y)=M(x,y)dx+N(x,y)dy, тогда функции M(x,y) и N(x,y) должны быть для U(x,y) частными производными первого порядка, соответственно, по переменным x и y, т.е. . Предполагая функции M(x,y) и N(x,y) непрерывными и имеющими непрерывные частные производные, соответственно, по y и x, т.е. выполнение соотношений , из тождества получаем, что для M(x,y) и N(x,y) должно выполняться условие . Полученное условие является не только необходимым, но и достаточным для того, чтобы уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0 Было уравнением в полных дифференциалах. Нахождение общего решения уравнения в полных дифференциалах проводится в два этапа. На первом этапе функция U(x,y) рассматривается как функция только аргумента x, переменная y получает как бы фиксированное значение . Тогда соотношению ставится в соответствие дифференциальное уравнение . Пусть его общее решение представляется в виде . Но так как решение уравнения зависит от y, то в общем решении постоянная c является функцией y, т.е. c=h(y). Следовательно, общее решение предыдущего дифференциального уравнения, снимая с y условие закрепления его значения, имеет вид U(x,y)=g(x,y)+h(y). На втором этапе находится вид функции h(y). Для этого обратимся к соотношению , в котором уже закрепляется как бы значение переменной x. Используя данное соотношение и вид функции U(x,y), получаем дифференциальное уравнение, связывающее переменные h и y: или . Интегрируя это уравнение, находим его общее решение . Из , получаем окончательный вид функции U(x,y), а именно или . В последнем двойном интеграле вместо можно взять функцию (т.к. ). Тогда функция U(x,y) получает вид . Так как общее решение исходного дифференциального уравнения записывается в виде U(x,y)=c=const, то, заменяя две постоянных на одну, получаем следующий вид общего решения уравнения или . Пример 1. Дано дифференциальное уравнение (6x2y2+6xy-1)dx+(4x3y+3x2y+2y)dy=0. В нем M(x,y)=6x2y2+6xy-1, N(x,y)=4x3y+3x2y+2y. Из и тождества , Следует, что данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах. Проведем его решение в два этапа. На первом решаем уравнение или dU=(6x2y2+6xy-1)dx, в котором переменная y считается закрепленной. Интегрируя это уравнение, получаем U(x,y)=2x3y2+3x2y-x+h(y). На втором этапе определяем вид функции h(y), используя для этого соотношение и дифференциальное уравнение для h и y 4x3y+3x2+h/(y)=4x3y+3x2+2y или . Интегрируя последнее, получаем h=y2+c. Общий интеграл исходного уравнения тогда можно записать в виде 2x3y2+3x2y-x+y2=c. Пример 2. Найти решение уравнения 2xsinydx+(3y2+x2cosy)dy=0. Проверяем, является ли оно уравнением в полных дифференциалах? Для этого из M(x,y)=2xsiny, N(x,y)=3y2+x2cosy Находим . Так как, очевидно, выполняется условие , то уравнение есть уравнение в полных дифференциалах. Сначала решаем уравнение или dU=2xsinydx, считая y постоянной. Интегрирование уравнения дает U(x,y)=x2siny+h(y). Затем находим функцию h(y), используя соотношения , с одной стороны, и , с другой стороны. Соотношения приводят к дифференциальному уравнению или . Интегрируя последнее уравнение, получаем h=y3+c. Тогда общий интеграл исходного дифференциального уравнения записывается в виде X2siny+y3+c=0. Далее рассмотрим понятие интегрирующего множителя. Ранее отмечалось, что уравнение в полных дифференциалах возникает, когда поведение системы сохраняет некоторую величину U, т.е. удовлетворяет соотношению U(x,y)=c. Дифференциальным аналогом его является уравнение dU(x,y)=0 или M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, Где . Предположим теперь, что частные производные функции U(x,y) представимы в виде . Тогда соотношению U(x,y)=e будет соответствовать уравнение в полных дифференциалах вида M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0. Если теперь данное уравнение разделить на общий множитель слагаемых g(x,y), то получим уравнение M(x,y)dx+N(x,y)dy=0. Решение последнего уравнения эквивалентно решению предыдущего, из которого оно получено, однако оно может уже не являться уравнением в полных дифференциалах, также для него возможно будет . В то же время после умножения его на множитель g(x,y), оно становится уравнением в полных дифференциалах. Определение. Функция g(x,y) называется интегрирующим множителем дифференциального уравнения M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, Если после умножения его на эту функцию оно становится уравнением в полных дифференциалах. Данный способ решения дифференциального уравнения называется методом интегрирующего множителя. Найдем условие, которому должен подчиняться интегрирующий множитель g(x,y). Из предложения, что уравнение M(x,y)g(x,y)dx+N(x,y)g(x,y)dy=0 Становится уравнением в полных дифференциалах следует выполнение условия . Разверернув левую и правую части этого тождества , заключаем, что функция g(x,y) должна являться решением уравнения . В общем случае решение данного уравнения вызывает затруднения. Отметим два случая, когда его решение становится проще. Случай первый. Пусть . Тогда интегрирующий множитель можно искать в виде функции зависящей только от x. Действительно, пусть g=g(x). Тогда в виду ; получаем, что искомая функция g(x) является решением дифференциального уравнения или , интегрируя которое, находим , т.е. . Второй слуяай относится к аналогичной ситуации, когда . Тогда интегрирующий множитель ищется в виде функции только от y, т.е. g=g(y). Аналогично предыдущему, не трудно видеть, что функция g(y) является решением уравнения и представляется в виде . Пример 3. Дано уравнение (y2-3xy-2x2)dx+(xy-x2)dy=0. Из M(x,y)=y2-3xy-2x2, N(x,y)=xy-x2, , следует , т.е. уравнение не является в полных дифференциалах. Однако из соотношения вытекает, что можно найти такой интегрирующий множитель g=g(x), после умножения на который исходное уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Указанный множитель находим из уравнения , интегрируя которое получаем , или g=xc. Так как в качестве множителя достаточно взять одну из функций, то положим c=1 и, тогда, g=x. Умножая исходное уравнение на множитель g=x, получаем (xy2-3x2y-2x3)dx+(x2y-x3)dy=0, являющееся уже уравнением в полных дифференциалах. Интегрируя его, находим , , затем из U/y=x2y-x3+h/(x) и U/y=N(x,y)=x2y-x3 получаем x2y-x3+h/=x2y-x3, т.е. и, следовательно, h=c=const. Таким образом, общее решение имеет вид . Пример 4. Требуется решить уравнение (2xy2-y)dx+(y2+x+y)dy=0. Из M(x,y)=2xy2-y, N(x,y)=y2+x+y, следует . Однако из соотношения , вытекает, что для исходного дифференциального уравнения существует интегрирующий множитель g=g(y), с помощью которого уравнение становится уравнением в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель находится из уравнения . Интегрируя его, получаем . Умножая исходное уравнение на множитель , приходим к уравнению . Это уравнение является уже уравнением в полных дифференциалах. Решаем его , , затем из и , получаем или . Интегрируя последнее уравнение, имеем . Таким образом, общий интеграл исходного уравнения имеет вид .
Популярное: ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (195)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |