Линейное дифференциальное уравнение первого порядка .
Определение. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение вида y/+g(x)y=h(x). Такое название ему дано в связи с тем, что относительно переменных y и y/ его можно рассматривать как линейное. Если , то уравнение принимает простой вид y/=h(x), и сводится к нахождению неопределенного интеграла . Его общее решение тогда имеет вид . Если , то уравнение называется однородным линейным. Оно приобретает вид , и, как нетрудно видеть, сводится к решению уравнения с разделяющимися переменными и далее . Его общее решение имеет вид , где - некоторая первообразная для функции g(x). Предположим теперь, что , функции g(x) и h(x) являются непрерывными. Пусть y=f(x,c) – искомое общее решение линейного дифференциального уравнения. Представим исходное уравнение в виде , и подставим в выражение, стоящее в квадратных скобках, , т.е. как бы полагая в общем решении . Тогда вышеприведенное уравнение примет вид , являясь линейным однородным дифференциальным уравнением (в нем вместо y взята для удобства переменная z, чтобы не возникло путаницы решений этого уравнения с исходным). Общее решение этого уравнения, как уже отмечалось ранее, может быть представлено в виде , где A – произвольная постоянная. Очевидно, является его частным решением, и, следовательно, может быть получено при некотором значении , т.е. . Если теперь освободиться от условия фиксирования постоянной , то получаем, что общее решение исходного уравнения имеет вид . В нем второй множитель функция является, как нетрудно видеть, частным решением при c=1 однородного линейного уравнения . Первый множитель функция представляет общее решение дифференциального уравнения u/v(x)=h(x). Действительно, подставляя в это уравнение u/x(x,c), получаем тождество . Таким образом, показано, что общее решение линейного дифференциального уравнения Представляется в виде y=u(x,c)v(x), где v(x) – частное решение однородного уравнения , решаемое при c=1, u(x,c) – общее решение уравнения u/v(x)=h(x). Нетрудно видеть, что в обоих случаях приходится решать уравнение с разделяющимися переменными. Заметим, что хотя при решении однородного уравнения бралось частное решение V(x) однородного уравнения v/+g(x)v=0, Являющегося уравнением с разделяющимися переменными. На втором этапе определяется решение u(x,c) дифференциального уравнения u/v(x)=h(x), Также являющегося уравнением с разделяющимися переменными. После их решений общее решение исходного линейного уравнения представляется в виде Y=u(x,c)v(x). Пример 1. Решить уравнение Y/+2y=sinx. Сначала решаем однородное уравнение v/+2v=0. Из него получаем или . Интегрируя его левую и правую части, получаем его общий интеграл (решение) вида . Полагая в нем c=0 и потенциируя его, получаем следующее его нетривиальное частное решение . Далее решаем уравнение вида или . Разнося переменные в разные части уравнения и интегрируя их, получаем общее решение этого уравнения . Вычислим интеграл: . Рассматривая данное уравнение, как уравнение относительно интеграла, находим его вид . Следовательно, . Тогда общее решение исходного уравнения будет . Предположим теперь, что требуется выделить частное решение, проходящее через точку M(0,0), т.е. решение, удовлетворяющее начальному условию y(0)=0. Для этого подставим значения x=0, y=0 в общее решение и найдем соответствующее значение постоянной c: , отсюда . Искомым частным решением является . Пример 2. Решить уравнение , являющееся линейным дифференциальным уравнением. На первом этапе найдем решение соответствующего линейного однородного уравнения , или . Разделяя переменные по разные стороны уравнения, имеем . Интегрируя обе части данного уравнения, получаем следующее его частное решение . На втором этапе решаем уравнение вида . Делая замену , сокращая обе части уравнения на и разделяя переменные, имеем du=x2dx. Интегрируя правую и левую части уравнения, получаем его общее решение . Общее решение исходного дифференциального уравнения имеет вид .
Популярное: Как вы ведете себя при стрессе?: Вы можете самостоятельно управлять стрессом! Каждый из нас имеет право и возможность уменьшить его воздействие на нас... Почему двоичная система счисления так распространена?: Каждая цифра должна быть как-то представлена на физическом носителе... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (176)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |