Интегро-дифференциальные уравнения

Ряд задач математической физики приводит к интегральным уравнениям различных типов. Так, например, интегральные уравнения Вольтерра возникают в тех задачах физики, в которых существует предпочтительное направление изменения независимого переменного (например, времени, энергии и т.д.). В задаче о крутильных колебаниях возникает некоторое интегро-дифференциальное уравнение.

Постановка задач и методы решения уравнений математической физики. На первом этапе развития теории У. м. ф. много усилий было затрачено на отыскание их общего решения. Уже Ж. Д'Аламбер (1747) получил общее решение волнового уравнения. Основываясь на подстановках, применявшихся Л. Эйлером (1770), П. Лаплас предложил (1773) «каскадный метод», дающий общее решение некоторых др. линейных однородных гиперболических уравнений 2-го порядка с двумя аргументами. Однако такое общее решение удалось найти в весьма редких случаях; в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, для уравнений с частными производными не выделено ни одного сколько-нибудь значительного класса уравнений, для которых общее решение может быть получено в виде достаточно простой формулы. Кроме того, оказалось, что при анализе физических процессов У. м. ф. обычно появляются вместе с дополнительными условиями, характер которых коренным образом влияет на направление исследования.

Широкое распространение получили методы приближённого решения краевых задач, в которых задача сводится к решению системы алгебраических (обычно линейных) уравнений. При этом за счёт увеличения числа неизвестных в системе можно достичь любой степени точности приближения.

Интегро-дифференциальные уравнения, уравнения, содержащие неизвестную функцию под знаком интеграла и под знаком производной. Например, уравнение, полученное итальянским математиком В. Вольтерра в задаче о крутильных колебаниях:

Иногда интегро-дифференциальные уравнения можно свести к интегральным уравнениям или дифференциальным уравнениям. Решение интегро-дифференциальных уравнений можно искать по методу последовательных приближений[4].

Интегральные уравнения, уравнения, содержащие неизвестные функции под знаком интеграла. Многочисленные задачи физики и математической физики приводят к интегральным уравнениям различных типов. Пусть, например, требуется с помощью некоторого оптического прибора получить изображение линейного объекта А, занимающего отрезок 0 £ x £ l оси Ox, причём освещённость объекта характеризуется плотностью u(x). Изображение В представляет собой некоторый отрезок другой оси x₁; последний путём подходящего выбора начала отсчёта и единицы длины также можно совместить с отрезком 0 £ x₁ £ l . Если дифференциально малый участок (х, х + Dх) объекта А вызывает освещённость изображения В с плотностью K(x₁, x)u(x)dx, где функция K(x₁, x) определяется свойствами оптического прибора, то полная освещённость изображения будет иметь плотность

В зависимости от того, хотят ли добиться заданной освещённости v(x₁) изображения или «точного» фотографического изображения [v(x) = ku(x), где постоянная k заранее не фиксируется], или, наконец, определённой разницы освещённости А и В [u(x) — v(x) = f(x)], приходят к различным интегральным уравнениям относительно функции u(x):

Вообще, линейным интегральным уравнением 1-го рода называется уравнение вида

линейным интегральным уравнением 2-го рода, или уравнением Фредгольма,— уравнение вида

[при f (x) = 0 оно называется однородным уравнением Фредгольма]; обычно рассматриваются уравнения Фредгольма с параметром l:

Во всех уравнениях функция

— так называемое ядро интегрального уравнения — известна, так же, как функция f (x) (а £ х £ b); искомой является функция u(x) (а £ х £ b).

Функции K(x, y), f (x), u(x) и параметр уравнения l могут принимать как действительные, так и комплексные значения. В частном случае, когда ядро K(x, y) обращается в нуль при у > х, получается уравнение Вольтерра:

Интегральное уравнение называется особым, если хотя бы один из пределов интегрирования бесконечен или ядро K(x, y) обращается в бесконечность в одной или нескольких точках квадрата а £ х £ b, а £ y £ b или на некоторой линии. И. у. может относиться и к функциям нескольких переменных: таково, например, уравнение

Рассматриваются также нелинейные И. у., например уравнения вида

Или

Линейные интегральные уравнение 2-го рода решаются следующими методами:

1) решение u(x) получается в виде ряда по степеням l (сходящегося в некотором круге |l|<K) с коэффициентами, зависящими от х (метод Вольтерра — Неймана);

2) решение u(x), при тех значениях l, при которых оно вообще существует, выражается через некоторые целые функции от l (метод Фредгольма);

3) в случае, когда ядро симметрично, т. е. К(х, y) º К(у, x), решение u(x) выражается в виде ряда по ортогональным функциям u_к(х), являющимся ненулевыми решениями соответствующего однородного уравнения

(последнее имеет отличные от нуля решения лишь при некоторых специальных значениях параметра l = l_к, k = 1, 2, ..) (метод Гильберта — Шмидта);

4) в некоторых частных случаях решение сравнительно просто получается с помощью преобразования Лапласа;

5) в случае, когда

(так называемое вырожденное ядро), отыскание u(х) сводится к решению системы алгебраических уравнений. Приближённые решения можно получить, либо применив к

какую-либо формулу численного интегрирования, либо заменив данное ядро К(х, y) некоторым вырожденным ядром, мало отличающимся от К(х, у). К интегральным уравнениям часто сводятся краевые задачи для дифференциальных уравнений, обыкновенных и с частными производными; такое сведение имеет и теоретическую и практическую ценность[5].