Тема 4. Задачи на смеси

1. Постановка задачи на смеси.

2. Графический метод решения.

3. Общий алгоритм решения задач линейного программирования.

Краткое содержание темы

Задачи на смеси являются одним из показательных классов задач по линейному программированию в области планово-экономических исследований. На примере таких задач могут быть рассмотрены основные методы решения задач линейного программирования как одного из крупных разделов математических методов экономических исследований.

Классическая задача на смеси ставится следующим образом. Из различных видов сырья объемом соответственно b₁, b₂,..., b_m-1, b_m можно изготовить n видов продукции. Пусть цена единицы j-го вида продукции будет c_j и для изготовления единицы j-го продукта требуется затратить i-ый вид сырья в количестве a_ij единиц. Возникает вопрос, какие виды продукции и в каком количестве нужно производить, чтобы получить наибольшую выручку?

Таким образом, нужно определить количество производимой продукции при ограниченных ресурсах, при этом реализация произведенной продукции должна дать максимальную выручку.

Математически описанную задачу можно представить следующим образом.

Пусть  - количество j-ой продукции, тогда стоимость всей произведенной продукции можно выразить функцией:

 ‑ целевая функция.

Следовательно, в задаче идет речь о достижении максимума целевой функции L на множестве различных допустимых значений . Другими словами, критерием оптимальности задачи является: .

Очевидно, далее, что  ³ 0 для j = 1, 2,..., n. Количество произведенной продукции не может быть отрицательным. Далее, на единицу j-го вида продукции требуется  единиц i-го сырья, т.е. для изготовления  единиц j-го продукта потребуется  единиц i-го сырья.

Так как один и тот же вид сырья может использоваться для производства любого j-го продукта, то суммарные потребности i-го сырья на все j-ые продукты не должны превышать имеющихся ресурсов b₁, b₂, ..., b_m сырья, т.е.

.

Таким образом, приходим к следующей математической задаче.

Найти:  при условии, что  и .

Очевидно, что условиям задачи может удовлетворить множество наборов значений x_j, где j = 1, 2, ..., n. Каждый из таких наборов носит название допустимого решения (стратегии, управления, плана). Решение, при котором достигается max целевой функции, называется оптимальным.

Графический метод решения задачи на смеси вытекает из следующих основных свойств задач линейного программирования:

· существует выпуклый многоугольник (многогранник) допустимых решений;

· оптимальное решение задачи достигается в одной из вершин многоугольника допустимых решений.

Следовательно, если построить гиперплоскость целевой функции (критерия) нулевого уровня, то, передвигая ее в сторону возрастания значений переменных, можно определить первую или последнюю вершину многоугольника допустимых решений для поставленной задачи, с которой передвигаемая гиперплоскость впервые встречается или покидает область многоугольника. В частном случае гиперплоскость может представлять прямую линию. Соответственно первая вершина встречи будет определять минимальное значение целевой функции, а последняя вершина встречи - максимальное.