Практические рекомендации по постановке задач ДП

1. Выбрать параметры (фазовые координаты), характеризующие состояние S управляемой системы перед каждым шагом.

2. Расчленить операцию (задачу) на этапы (шаги).

3. Выяснить набор шаговых управлений xi для каждого шага и налагаемые на них ограничения.

4. Определить, какой выигрыш приносит на i-ом шаге управления xi, если перед этим система была в состоянии S, т.е. записать "функции выигрыша":

 

.                   (6.1)

 

5. Определить, как изменяется состояние S системы под влиянием управления xi на i-м шаге; оно переходит в новое состояние:

 

.                   (6.2)

 

Эти функции изменения состояния тоже должны быть записаны.

6. Записать основное рекурентное уравнение ДП, выражающее условный оптимальный выигрыш wi(S) (начиная с i-го шага и до конца) через уже известную функцию wi+1(S):

 

.                                 (6.3)

 

Этому выигрышу соответствует условное оптимальное управление на i-м шаге xi(S) (в уже известную функцию wi+1(S) нужно вместо S подставить измененное состояние S = ji(S,xi) ).

7. Произвести условную оптимизацию последнего m-го шага, задаваясь гаммой состояний S, из которых можно за один шаг дойти до конечного состояния, вычисляя для каждого из них условный оптимальный выигрыш по формуле:

 

,

 

и находя условное оптимальное управление xm(S) , для которого этот максимум достигается.

8. Провести условную оптимизацию (m - 1)-го, (m - 2)-го и т.д. шагов по формуле (6.3), полагая в ней i = (m - 1), (m - 2), ..., и для каждого из шагов указать условное оптимальное xi(S), при котором достигается максимум. Если состояние системы в начальный момент известно (что является обычным), то на первом шаге варьировать состояние системы не нужно - сразу находится оптимальный выигрыш для данного начального состояния S₀. Это и есть оптимальный выигрыш за всю операцию:

 

.

 

9. Провести безусловную оптимизацию управления, "читая" соответствующие рекомендации на каждом шаге. Взять найденное оптимальное управление на первом шаге , изменить состояние системы по формуле (6.2), для вновь найденного состояния найти оптимальное управление на втором шаге  и т.д. до конца.

Тема 7. Сетевые методы планирования

 

1. Понятие сетевых методов.

2. Разработка сетевых графиков.

3. Параметры сетевых графиков.

4. Расчет сетевых моделей.

Краткое содержание темы

В последние годы в планировании и управлении различными экономическими объектами все чаще применяются сетевые методы или, как их иначе называют, сетевые графики.

Эти методы далеко не универсальны, и многие вопросы не могут быть решены с их помощью, однако на своем месте, там, где их применение целесообразно, они весьма эффективны.

Первое, что подлежит сделать, - это составить список всех работ, которые необходимо совершать с начала какого-либо процесса и вплоть до его завершения.

Существенную роль в выборе работ имеет продолжительность или время выполнения. Обычно подразделение на работы осуществляется так, что продолжительности их достаточно близки, с той степенью детализации, которая достаточна для желаемой точности.

В принципе этот список может включать многие сотни работ.

Все работы в списке могут быть естественным способом упорядочены, т.е. можно сказать, какая работа должна быть выполнена сначала, а какая за ней. Можно также указать, какие работы будут выполняться одновременно.

Процесс упорядочения списка работ является наиболее существенной и трудоемкой частью всего исследования.

Как только это сделано, можно приступать к созданию сетевой модели.

Результаты работ будем изображать кружком с соответствующим номером внутри. При этом, если работа i предшествует работе j, то будем изображать так:

 

 

Пусть далее tij означает, что работа j может быть завершена через время tij после окончания работы i. Будем считать, что величины tij для всего списка работ известны. Стрелка на этой модели обозначает собственно работу, а кружки - результат.

Эту простую схему применим для всего спектра работ.

В результате получим следующую схему, изображенную в виде графика:

 

 

Модель готова. В чем ее польза?

С ее помощью можно ответить на вопрос, за какое наименьшее время может быть завершен весь процесс. Для этого из всего комплекса выделим две особо значимые работы. Первую - с нее начинается процесс и последнюю - ею заканчивается процесс. Ясно, что время завершения процесса не может быть меньше суммы длительностей (времени выполнения ) всех операций, взятых вдоль самого неблагоприятного, самого длинного пути, соединяющего первую и последнюю работы на построенном графике. Такой путь, т.е. путь, на котором достигается наибольшее возможное время окончания процесса, носит название критического пути. Те работы, через которые проходит критический путь, называются критическими. Эти работы следует выполнять, как только это будет возможным.

Если задержаться с выполнением критической работы, то заведомо отодвигается момент окончания всего процесса. Для каждой некритической работы имеется некоторый интервал свободы, в течение которого она может быть выполнена без ущерба для завершения срока всего процесса.

Сетевая модель, отображающая процесс выполнения комплекса работ, направленных на достижение единой цели, может быть изображена либо в виде сетевого графика (см. выше), либо в виде таблицы:

 

Шифр работ
i	j	Продолжительность работ, tij	Количество исполнителей
1	2	5 - 10	4
1	4	7 - 11	16
1	8	5 - 7	4
2	3	3 - 5	6
3	6	2 - 3	2
4	5	6 - 10	14
4	7	5 - 7	4
5	6	5 - 7	8
6	9	6 - 8	10
7	9	3 - 4	20
8	9	10 - 12	4

 

В таком виде модель используется для расчета вручную или для ввода данных в ЭВМ.

Работа и событие ( результат ) - важнейшие понятия для сетевых моделей.

Работой в сетевом графике называется любой производственный процесс, событием - результат одной или нескольких работ, т.е. результат производственного процесса.

В сетевом графике встречается несколько типов работ и событий.

Это прежде всего реальные хозяйственные и технологические процессы, требующие затрат времени и ресурсов для их осуществления. Такие работы обозначаются сплошными стрелками. Но работой могут быть процессы, требующие только затрат времени.

Например: ожидание результата какого-нибудь процесса (естественная сушка материалов), ожидание какого-либо решения или данных не нуждаются в затратах ресурсов. Такие работы называются ожиданиями и обозначаются штрих- пунктирной линией.

Третий тип работ - это так называемые фиктивные работы. Они не требуют затрат ни материальных ресурсов, ни времени, они показывают зависимость какого-либо события от другого. На сетевых графиках они показываются пунктирными стрелками.

Традиционно планы базируются только на работах, а результаты работ (события) подразумеваются. Введение в сетевые графики понятия "событие" позволяет более четко вести процесс управления, так как язык событий не допускает двусмысленности.

Событие наступает или, как говорят, свершается тогда, когда закончены все предшествующие ему работы.

Совершение события - предпосылка для начала следующих за ним работ. Событие не имеет продолжительности.

В связи с этим к его формулировке предъявляются особые требования. Каждое событие должно быть полно, точно и всесторонне определено, его формулировка должна включать в себя результат выполнения всех непосредственно предшествующих ему работ, необходимый для начала последующих работ.

Сетевой график начинается с исходного события. Предполагается, что для его свершения не нужны какие-либо предшествующие работы.

Обычно исходное событие - это принятое решение о начале какого-либо процесса (комплекса работ). Например: 7.

Завершающее событие - это конечный результат всего комплекса работ. Например: 9.

Есть еще несколько типов событий.

Начальное событие - событие, непосредственно предшествующее каждой работе.

Конечное событие - событие, которым оканчивается какая-либо работа.

Например: на предыдущем графике для работы 2 - 3 событие 2 - начальное, 3 - конечное.

Граничными событиями называются события, фиксирующие окончание работ какого-либо исполнителя (организации). Например: факт передачи исходных данных, выпуск чертежей и т.п.

Сетевой график обычно содержит одно исходное и одно завершающее события.

Если завершающих событий несколько, то такой график называется многоцелевым.

Сетевые графики обладают важным свойством - наглядностью.

Отображение логической последовательности работ, четкость их взаимосвязей дают возможность анализировать состав и порядок проведения предстоящего комплекса работ, уже это имеет организующее воздействие на их ход.

Графическое представление сетевой модели значительно упрощает ее составление, расчет, анализ и изучение.

Сетевой график - это не только график, но и модель какого-либо производственного процесса.

Важной особенностью сетевых методов является способ оценки параметров предстоящих работ. Оценку дает либо непосредственный исполнитель, либо эксперт, имеющий большой опыт работ в соответствующей области. Каждая работа оценивается по времени. Часто с временными характеристиками даются оценки:

· количества исполнителей;

· трудоемкости;

· стоимости и т.п.

Одним из важнейших понятий сетевых методов является понятие критического пути. Его определяют при расчете сетевого графика (сетевой модели).

Критическим путем называется такая последовательность взаимосвязанных работ и событий, которая имеет наибольшую продолжительность по времени.

Продолжительность критического пути характеризует продолжительность всего комплекса работ в целом.

Понятие критического пути является основой оптимизации планов, координации и контроля выполнения работ.

Критический путь указывает на наиболее важные работы, от которых зависят сроки выполнения всего комплекса работ.

Как показывает опыт, количество работ и событий, входящих в критический путь, обычно не превышает 10% всех работ, что позволяет исключить из поля усиленного контроля те работы, которые в данный момент не влияют на своевременное достижение цели (а их большинство). Следовательно, имеется возможность выделить главное в работе.

Кроме выявления критического пути, расчет сетевого графика позволяет получить целый ряд других показателей:

· ранние и поздние сроки начала и окончания работ;

· резерв времени;

· вероятность наступления событий и т.д.

Эти показатели применяются для оптимизации плана и для принятия решения по рациональной организации выполнения всего комплекса работ.

Сетевые методы включают в себя ряд процедур, обеспечивающих управление на всем протяжении производственного процесса. Эти процедуры предусматривают поступление от исполнителей информации о ходе работ и о возможных изменениях их оценок или содержания. В соответствии с этой информацией сетевой график (модель) периодически уточняется.

Таким образом, сетевые методы сводятся к использованию для целей управления:

· сетевой модели комплекса работ, которая является математическим описанием какого-либо процесса и показывает состав работ, их взаимосвязи и зависимость друг от друга, а также содержит оценки параметров работ;

· сетевого графика как наглядного отображения сетевой модели;

· специальных методов расчета сетевых графиков, позволяющих определять критический путь, резервы времени и другие параметры, используемые для планирования и координации работ;

· специальных процедур сбора, обработки и подготовки информации для принятия решений.

Следовательно, сетевые методы - это совокупность приемов и способов, позволяющих на основе применения сетевых графиков (моделей) рационально осуществлять управленческий процесс: планировать, организовывать, координировать и контролировать любую сложную работу.

Рассмотрим способы определения параметров конкретного сетевого графика.

Пусть tij - продолжительность работы, которая измеряется, например, в днях. Индексы i и j указывают на начальное и конечное события работы.

В процессе расчета сетевого графика (модели) определяются и анализируются следующие основные параметры:

t (L) - продолжительность пути L;

t кр - продолжительность критического пути Lкр;

ti(p) , ti(п) - ранний и поздний сроки совершения событий;

tij(pн) , tij(пн) - ранний и поздний сроки начала работы;

tij(ро) , tij(по) - ранний и поздний сроки окончания работы;

R(L) - полный резерв времени пути;

Rij(п) - полный резерв времени работы;

- частные резервы времени.

Путем на сетевом графике называется любая непрерывная последовательность работ, направленная к завершающему событию.

Продолжительность пути t(L) есть сумма продолжительности работ, составляющих этот путь.

Для простых графиков расчет продолжительности критического пути можно сделать на “глазок”. Для сложных графиков для этих целей служат математические методы.

Рассмотрим один из них.

Введем ряд дополнительных условий. Если сетевой график не содержит отрезка, соединяющего работы i и j, то считаем tij = - m. Далее положим tii = 0. Тогда с математической точки зрения задача состоит в следующем: найти такой путь , где Еj - работы, n - число работ, при котором величина  достигает максимума.

В основе метода лежит метод динамического программирования. Обозначим через vi (i = 1, 2, ..., n-1) величину максимального пути от вершины i до конечной вершины. (Предполагается, что вершины занумерованы так, что начальная имеет номер 1, а последняя, завершающая, ‑ номер n).

Поиск критического пути осуществляется в несколько этапов.

На первом этапе определяем величины:

 

, i = 1, 2, ..., n-1;

, i = 1, 2, ..., n-1.

 

Ясно, что они выражают продолжительности времени, необходимого для того, чтобы достичь вершины n от i-ой вершины за один шаг.

Далее переходим к вычислению:

 

, i = 1, 2, ..., n-1; , j = 1, 2, ..., n,

 

выражающих величины максимальных путей, соединяющих вершины сетевого графика с вершиной n и состоящих из двух звеньев.

Рассуждая аналогично, шаг за шагом, вычисляем:

 

, i = 1, 2, ..., n-1,

, j = 1, 2, ..., n,

 

до тех пор, пока не окажется, что выполнены условия:

 

, i = 1, 2, ..., n.

 

Найденное значение vi^(k) будет выражать величину критического пути, соединяющего первую и n-ую вершины, а число k укажет, из скольких звеньев этот путь состоит. Можно указать, что если график состоит из n вершин, то для нахождения критического пути достаточно n-2 этапа последовательных вычислений.