Графическое решение для двух продуктов

Графическое решение строится на представлении условий задачи в виде прямых линий на двумерной плоскости, координатами которой служат продукты, поэтому их берётся два. Помимо исходных данных (технологической матрицы A, векторов цен c и наличия ресурсов b) необходимо задать начальные значения выпуска x и, используя их, рассчитать расход Ax (произведение матрицы A на вектор x), используя функцию СУММПРОИЗВ аналогично тому, как это было сделано в работе 1, и остатки (разность между наличием и расходом (см. рис. 3).

Рис. 3. Подготовленные данные и предварительные расчёты для двух продуктов.

Для графического представления задачи подготовим параметры прямых. В выражении-ограничении  перепишем произвольную строку i (т.е. для i-го ресурса) в подробной записи: . Она представляет из себя уравнение полуплоскости . Для графического представления сводим его к уравнению прямой вида , где  и . Для нахождения параметров прямой дохода используем уравнение , где d – это значение дохода (рассчитайте соответствующие α и β самостоятельно).

Рис. 4. Расчёты для графического решения задачи по данным, представленным на рис. 3. В верхней строке 5 значений x₁ с равным шагом, а ниже соответствующие значения x₂ для каждого ресурса и дохода.

Теперь необходимо задать несколько значений x₁ и по ним рассчитать соответствующие значения . Результат представлен на рис 4. Для визуального представления этих числовых данных используется не «график», а «точечная диаграмма» (см. рис. 5), хотя внешне они очень похожи. Это связано с тем, что по оси x₁ (горизонтальной) необходимо вывести значения из верхней строки таблицы рис. 4.

Рис. 5. Графическое представление числовых данных рис. 4. Прямые ресурсов – это верхние границы полуплоскостей, соответствующих области наличия ресурсов. Прямая дохода – это множество точек, соответствующих некоторому заданному уровню дохода.

Давайте разберёмся с тем, как понимать рис. 5. Каждая точка на этом графике – это некоторый выпуск (x₁,x₁). Любая точка ниже, скажем, прямой ресурса 1 – это такой выпуск, для которого указанного ресурса достаточно, его остаток будет положительным. Например, это выпуск (3, 10), попробуйте это проверить. Если точка расположена в точности на прямой, например (4, 40) – ресурс используется полностью, его остаток будет нулевым. Если точка расположена выше, например (4, 41) – то указанного ресурса для такого выпуска будет недостаточно, остаток будет отрицательным. Такое рассуждение справедливо для любого ресурса, оно вытекает из ограничения .

Глядя на рис. 5 нетрудно определить область допустимых решений, т.е. таких значений выпуска x, для которых остатки всех ресурсов неотрицательны. В нашем примере эта область формируется (двигаемся по рис. 5 слева направо) ресурсом 4 до пересечения с ресурсом 2, затем ресурсом 2 до пересечения с ресурсом 3 и далее ресурсом 3 до пересечения с осью x₁. Описанная верхняя граница области допустимых решений показана на рис. 6.

Рис. 6. Верхняя граница (чёрный пунктир) области допустимых решений формируется как нижняя огибающая прямых всех ресурсов. При увеличении выпуска прямая «Доход» параллельно сдвигается вверх.

При увеличении выпуска прямая дохода будет параллельно сдвигаться вверх. Например, ситуация на рис. 6 в отличие от рис. 5 уже соответствует выпуску (10, 22) и доходу <c, x>=1130. Любая точка на этой прямой будет обеспечивать этот доход, но путём разного сочетания выпуска продуктов x₁и x₂. , например, тот же доход обеспечивает выпуск (5,2, 25). При этом видно, что не любой выпуск является допустимым, например, при x₁>16 (примерно) прямая дохода расположена выше нижней границы области допустимых решений. Очевидно, что в поисках решения, максимизирующего наш доход, мы можем сдвигать прямую дохода вверх до тех пор, пока она содержит хотя бы одну допустимую точку. На рис. 6 такой самой «высокой» допустимой точкой является точка пересечения прямых ресурсов 2 и 4. На рис. 7 представлено графическое, а на рис. 8 – аналитическое решение с выпуском (10,7, 28,6) и доходом 1411, полученное с помощью инструмента «Поиск решения»[1] MS Excel. В этой точке остаток ресурсов 2 и 4 будет равным 0. Такие ресурсы будем называть дефицитными, поскольку они исчерпаны полностью, а соответствующие им ограничения – активными, поскольку для них условия вида  выполняются как равенства.

Рис. 7. В оптимальном решении прямая дохода проходит через точку максимума, т.е. самую верхнюю допустимую точку при движении в направлении роста дохода.

Рис. 8. Аналитическое решение задачи для двух продуктов.

Необходимо заметить, что при другом наклоне прямой дохода оптимальное решение могло получиться и в другой точке. Например, если наклон прямой дохода будет меньше по абсолютной величине, чем у прямой ресурса 4, то максимальный доход, равный 1250, будет достигаться в точке (0, 31,25). Такое решение, в котором один из продуктов вообще не производится будем называть вырожденным. Почему оно получилось? Для того, чтобы изменить наклон прямой дохода необходимо изменить цены продуктов, точнее, их отношение (если цены обоих продуктов умножить/разделить на одно и то же число, то угол наклона прямой дохода не изменится; объясните, почему).

В рассматриваемом случае для уменьшения угла наклона прямой дохода требуется значительно снизить цену продукта 1. После этого нет ничего удивительного в том, что получаемом оптимальном решении объём его выпуска становится равным 0. И наоборот, если начать понижать цену продукта 2, то угол наклона прямой дохода начнёт расти по абсолютной величине и, когда он станет больше угла наклона ресурса 2, оптимальное решение переместится в точку пересечения прямых ресурсов 2 и 3. Если продолжить понижать цену продукта 2, то, после того как угол наклона прямой дохода станет больше по абсолютной величине угла наклона прямой ресурса 3, решение снова станет вырожденным, но уже с нулевым выпуском продукта 2.