Указания к выполнению задания

Зададим платёжную матрицу V с положительными значениями с помощью генератора случайных чисел. Пусть для игрока А она является матрицей выигрышей, и тогда он будет решать задачу максимизации результата, а для игрока В – матрицей проигрышей, тогда он будет решать задачу минимизации.

На основании полученной матрицы определим лучшие ответы игроков (см. рис. 15): в столбце справа – это лучшие ответы игрока А на каждую стратегию игрока В, а в строке снизу – лучшие ответы игрока В на каждую стратегию игрока А. Видно, что лучшей стратегией игрока В – это В2, на что последует ответ А3. Если же первый «ход» будет у игрока А, то он выберет А3 и получит ответ В1. Значит результат зависит от очерёдности хода и равновесия в игре в чистых стратегиях нет.

Рис. 15. Игра в матричной форме и лучшие ответы игроков. Равновесие в чистых стратегиях отсутствует.

Отсутствие решения в чистых стратегиях требует обращения к задаче поиска равновесия в смешанных стратегиях. Она формулируется как специфическая задача линейного программирования[2]. Для игрока А, максимизирующего результат, это задача:

а для игрока В, минимизирующего результат, это двойственная к ней задача:

где x, y ненормированные вероятности стратегий игроков, соответственно А и В. После перенормировки вероятности для оптимальных стратегий игрока А это , а для игрока В это  (см. рис. 16).

Рис. 16. Нахождение равновесных стратегий как решение взаимно двойственных задач для игроков А и В.

Анализируя полученное решение, мы видим, что стратегии А1, В3 и В4 никогда использоваться не будут. Такой результат виден и непосредственно из анализа исходной матрицы. Действительно, стратегия А1 является доминируемой, поскольку стратегия А3 везде лучше неё. После удаления стратегии А1 доминируемыми становятся стратегии В3 и В4, поскольку стратегия В2 везде их лучше.

Несложно  также увидеть, что небольшое изменение в исходной матрице приводит к появлению решения в чистых стратегиях. Для этого требуется сделать так, чтобы в столбце А3 значение 8 стало минимальным, т.е. изменить элемент В1А3 с 6 на, скажем, 9.

Задание 5. Граница эффективности оптимального инвестиционного портфеля

Постановка задачи

Из перечня компаний, торгуемых на рынке ценны бумаг, выбрать 10 из разных отраслей в соответствие со следующими принципами:

А) Выбор производить из списков компаний на finance.yahoo.com c использованием отраслевого фильтра в разделе Industries. Следует выбрать по 2 компании из разделов: Services, Industrial Goods, Basic Materials, Consumer Goods, Technology. Порядковый номер первой выбираемой компании соответствует номеру студента в списке группы, второй – номеру плюс 20.

Б) В качестве объекта выбирать компанию, порядковый номер которой в отрасли совпадает с номером студента в списке группы.

Используя понедельные данные курса их акций за 2 года получить данные для расчёта доходности и риска портфеля. Решая задачу нахождения оптимального портфеля как параметрическую, найти границу эффективности портфеля в координатах «риск-доходность».

1.5.2 Контрольные вопросы

1. Сформулировать выполнение задания как решение прямой и двойственной задачи.

2. Дать объяснение немонотонности полученной границы эффективности.

3. Показать границы допустимых портфелей и границы эффективных портфелей.