Производные и дифференциалы высших порядков.
Если для функции y=f(x) определена производная у(к-1) порядка (к-1), то производную у(к) порядка к (при условии ее существования) определяют как производную от производной порядка (к-1), т.е. у(к) = (у(к-1))′ . В частности, у’’=(y’)’- производная второго порядка, y’’’=(y’’)’ – третьего и т.д.
Дифференциалы высших порядков ф-и y=f(v) последовательно определяются таким образом: d2y=d(dy) – диф-л 2-го порядка d3y=d(d2y)… dny=d(d n-1 y) - диф-л n-го порядка Формула Тейлора. Формула Маклорена. Теорема Тейлора. Пусть функция f(x) имеет в точке x = a и некоторой ее окрестности производные порядка n+1. Тогда между точками a и x a найдется такая точка , что справедлива следующая формула: Формула (10) называется формулой Тейлора, а выражение представляет остаточный член в форме Лагранжа. Заметим, что если функция f(n+1)(x) ограничена в окрестности точки a, тогда остаточный член является бесконечно малой при x a более высокого порядка, чем (x-a)n. Таким образом, остаточный член можно записать в виде Rn+1(x) = o((x-a)n) при x a. Данная форма записи остаточного члена называется формой Пеано. Формулой Маклорена называется формула Тейлора при a = 0: Остаточный член в форме Пеано для формулы Маклорена имеет вид Rn+1 = o(xn) при x 0. Приведем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена
Найдите, исходя из определения, производную функции f(x) в точке x0: 26. f(x) = x3, x0 - произвольное число. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = f(x) = x3 f ′(x о )= = = = =3 27. f(x)=sinx, xо-произвольное число Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = f ′(x о )= = = =cosx0 28. f(x)= , xо =9 Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = f ’(x)= = = =1/6 29. f(x)= , xо =1 Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= = f ’(x)= = = = =-2 30. f(x)=x ½x½, x0=0 Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= =
31. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0. f ’(x)= =
Найдите эластичность функции f (x) в точке x0: 38. f(x) = x4 , x0 = 9. Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел f (x) = x4 => E ( x )= , при x0 = 9. 39. f(x) = 3x , x0 = 5. Эластичностью функции y = f(x) в точке х0 называется предел E ( x )= 40. Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей .
42. Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)? Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой . Можно. f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4 43. Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале. Пусть функция f(x) 1. непрерывна на отрезке [a, b]; 2. дифференцируема в интервале (a, b). Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)
=>
Популярное: Почему человек чувствует себя несчастным?: Для начала определим, что такое несчастье. Несчастьем мы будем считать психологическое состояние... Как построить свою речь (словесное оформление):
При подготовке публичного выступления перед оратором возникает вопрос, как лучше словесно оформить свою... ©2015-2024 megaobuchalka.ru Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. (213)
|
Почему 1285321 студент выбрали МегаОбучалку... Система поиска информации Мобильная версия сайта Удобная навигация Нет шокирующей рекламы |