Определение несобственного интеграла от неограниченной функции на ограниченном промежутке.

Если функция f(x) определена при , интегрируема на любом отрезке и не ограничена слева от точки b, то по определению полагают Аналогично, если функция f(x) не ограничена справа от точки а, то . Наконец, если функция в окрестности внутренней точки с отрезка [a,b]не ограничена, то по определению _.

74. Докажите, что если F1(x) и F2 (x) - первообразные функции f (x) на интервале X , то F2 (x) = F 1(x) + C , где C - некоторая постоянная.

Теорема: любые две первообразные для данной функции отличаются только постоянным слагаемым.

Доказательство. Пусть F₁(x) и F₂(x) – первообразные для функции f(x). В силу определения первообразной имеем F₁’(x)=f(x) и F₂’(x)=f(x) при любом значении x из отрезка дифференцируемости функции f(x).

Составим разность F₂(x) - F₁(x) и найдем производную этой разности.

(F₂(x) - F₁(x))’= F₁’(x)- F₂’(x)=f(x) – f(x)=0

Нулю равна только производная константы. Значит F₂(x)- F₁(x)=С или F₂(x)=F₁(x)+С, где С - некоторая постоянная.

75. Дайте определение неопределенного интеграла. При каких условиях справедливо равенство . ( f (x) + g (x))dx = . f (x)dx + . g (x)dx?

Если функция F(x) является первообразной для функции f(x), то совокупность первообразных F(x)+C называется неопределенным интегралом от функции f(x).

Теорема: неопределенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов, т.е. ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

Доказательство. Дифференцируя левую часть равенства, получим:

(∫(f(x)+g(x))dx)’=f(x)+g(x),

производная правой части

(∫f(x)dx+ ∫g(x)dx)’=(∫f(x)dx)’+(∫g(x)dx)’=f(x)+g(x)

Производные равны, значит мы получили верное равенство, значит ∫(f(x)+g(x))dx=∫f(x)dx+∫g(x)dx.

76. Сформулируйте свойства неопределенного интеграла. Докажите,что d(. f (x)dx)= f (x)dx.

1. Производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, т.е.

(∫f(x)dx)’=f(x)

(∫f(x)dx)’=(F(x)+C)=f(x)

d∫f(x)dx=(∫f(x)dx)’dx=f(x)dx

2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная, т.е.

 ∫dF(x)=F(x)+C

3. Постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла, точнее, если k≠0, то

     ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx

4. Неопределенный интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от слагаемых, т.е.

∫(f₁(x)+f₂(x))dx=∫f₁(x)dx+∫ f₂(x)dx

Докажите формулу интегрирования по частям для неопределенного интеграла.

Теорема: пусть U(x) и V(x) – две дифференцируемые функции на промежутке X. Тогда на этом промежутке выполняется формула интегрирования по частям: ∫udv=uv-∫vdu

Доказательство. Имеем формулу дифференциала произведения функций uv:

d(uv)=udv+vdu

Интегрируя обе части равенства, получим:

uv=∫udv+∫vdu

Откуда ∫udv=uv-∫vdu.